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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 29.09.2010 | | Autor: | phychem |
Hallo
Ich studiere gerade am Beweis rum, laut welchem eine Menge genau dann kompakt ist, wenn sie vollständig und totalbeschränkt ist. Grundsätzlich verstehe ich den Beweis, nur mit einer Folgerung kann ich nichts anfangen. Es steht:
"Es sei K vollständig und totalbeschränkt. Ferner sei [mm] (x_{j}) [/mm] eine Folge in K. Da K totalbeschränkt ist, gibt es zu jedem [mm] n\in\IN_{+} [/mm] endlich viele offene Bälle mit Mittelpunkten in K und Radius 1/n, die K überdecken."
Bis hier hin ist alles klar. Nun steht:
"Daher gibt es eine Teilfolge von [mm] (x_{j}), [/mm] die ganz in einem Ball mit Radius 1 enthalten ist."
Warum denn das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Mi 29.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Einen Ball mit Mittelpunkt a und Radius r bezeichne ich mal mit B(a;r)
Da K totalbeschr. ist, existieren [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_m [/mm] in K mit
(*) K [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{m}B(a_i;1)
[/mm]
Ist nun [mm] (x_j) [/mm] eine Folge in K, so liegen alle [mm] x_j [/mm] in der Vereinigung [mm] \bigcup_{i=1}^{m}B(a_i;1)
[/mm]
Für mindestens ein [mm] B(a_i;1) [/mm] gilt also: [mm] x_j \in B(a_i;1) [/mm] für unendlich viele j
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 29.09.2010 | | Autor: | phychem |
Achso. Es muss ja mindestens einer dieser Bälle abzählbar-unendlich viele Folgenglieder und damit eine Teilfolge enthalten.
Danke für den Hinweis. Die Frage ist damit geklärt.
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