Kommutierende Endomorphismen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 02.06.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | 1) Sei V ein endlichdimensionaler [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und sei [mm] \varphi\in End_{\IK}(V). [/mm] V sei [mm] \varphi-zyklisch.
[/mm]
Zeige: Ein Endomorphismus [mm] \psi\in End_{\IK}(V) [/mm] kommutiert genau dann mit [mm] \varphi, [/mm] wenn [mm] \psi=p(\varphi) [/mm] für ein [mm] p\in \IK[X].
[/mm]
2) Sei nun [mm] \IK [/mm] algebraisch abgeschlossen und V sei ein [mm] \IK-Vektorraum. [/mm] Sei [mm] \varphi\in End_{\IK}(V).
[/mm]
Zeige: Ein Endomorphismus [mm] \psi\in End_{\IK}(V) [/mm] ist genau dann von der Form [mm] p(\phi) [/mm] für ein [mm] p\in \IK[X], [/mm] wenn er mit allen Endomorphismen kommutiert, die mit [mm] \varphi [/mm] kommutieren.
Ist die algebraische Abgeschlossenheit von [mm] \IK [/mm] notwendig? |
Heyho
Die eine Richtung bei Aufgabe 1) ist ja mehr oder weniger einfach. Doch die andere (kommutiert => ist [mm] p(\varphi) [/mm] ist wohl nicht so leicht.
Man sollte da sicherlich verwenden können, dass für ein [mm] v\in [/mm] V [mm] \{v, \varphi(v),...\varphi^{dim(V)-1)}(v)\} [/mm] eine Basis von V ist...
Zu 2): Soll man da etwa irgendwie mit der Jordan-Normalform arbeiten, wenn der Körper schon algebraisch abgeschlossen ist? Oder warum ist dies als Voraussetzung angegeben? Ich kann mir allerdings nicht vorstellen, was das mit der Normalform zu tun haben soll. Kann man sich die Normalformen als Darstellungsmatrizen wählen und das die Sache beweisen???
Hier ist es wohl auch nicht mehr notwendig, dass V [mm] \varphi-zyklisch [/mm] ist...
Kann man irgendwie die mit [mm] \varphi [/mm] kommutierende Untergruppe (ist doch hoffentlich eine Gruppe) als Kern einer linearen Abbildung identifizieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 1:
Sei n= dim V.
[mm] \psi [/mm] kommutiere mit [mm] \varphi
[/mm]
Da $ [mm] \{v, \varphi(v),...\varphi^{n-1)}(v)\} [/mm] $ eine Basis von V ist, gibt es [mm] a_0,a_1, ...,a_{n-1} \in [/mm] K mit
[mm] $\psi(v)= a_0v+a_1\varphi(v)+...+a_{n-1}\varphi^{n-1}(v)$
[/mm]
Setze $p(t) = [mm] a_0+a_1t+...+a_{n-1}t^{n-1}$
[/mm]
Zeige: [mm] $\psi=p(\varphi)$
[/mm]
FRED
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