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| Aufgabe | In einem dreidimensionalen Hilbertraum sei der Hamiltonoperator
H= [mm] \pmat{ h_1 & 0 & 0\\ 0 & h_1 & 0 \\ 0 & 0 & h_2 } h_1,h_2 \in \IR
[/mm]
gegeben. Geben Sie zwei Operatoren [mm] A_1, A_2 [/mm] an, die mit H vertauschen, aber nicht untereinander. (Es soll also gelten [mm] [A_1,H]=[A_2,H]=0, [A_1,A_2]\not=0) [/mm] |
Hallo Leute,
ich würde zuerst die Eigenzustände von H berechnen. Die Eigenwerte lassen sich direkt ablesen. Sie sind außerdem entartet.
Es lassen sich drei Eigenzustände berechnen.
Ich nehme an, dass ich die Operatoren [mm] A_1, A_2 [/mm] als Matrix angeben soll.
Da [mm] [A_1,H]=0 [/mm] gibt es gemeinsame Eigenzustände für [mm] A_1 [/mm] und H.
Dann könnte ich doch mit den ausgerechneten EZ von H den [mm] A_1 [/mm] konstruieren.
Leider habe ich keine Idee wie ich [mm] A_2 [/mm] angeben kann, da [mm] A_2 [/mm] nicht dieselben EZ haben darf wie [mm] A_1.
[/mm]
Vielleicht fällt euch etwas ein?
Gruß Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Di 20.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> In einem dreidimensionalen Hilbertraum sei der
> Hamiltonoperator
>
> H= [mm]\pmat{ h_1 & 0 & 0\\ 0 & h_1 & 0 \\ 0 & 0 & h_2 } h_1,h_2 \in \IR[/mm]
>
> gegeben. Geben Sie zwei Operatoren [mm]A_1, A_2[/mm] an, die mit H
> vertauschen, aber nicht untereinander. (Es soll also gelten
> [mm][A_1,H]=[A_2,H]=0, [A_1,A_2]\not=0)[/mm]
> Hallo Leute,
>
> ich würde zuerst die Eigenzustände von H berechnen. Die
> Eigenwerte lassen sich direkt ablesen. Sie sind außerdem
> entartet.
> Es lassen sich drei Eigenzustände berechnen.
> Ich nehme an, dass ich die Operatoren [mm]A_1, A_2[/mm] als Matrix
> angeben soll.
>
> Da [mm][A_1,H]=0[/mm] gibt es gemeinsame Eigenzustände für [mm]A_1[/mm] und
> H.
> Dann könnte ich doch mit den ausgerechneten EZ von H den
> [mm]A_1[/mm] konstruieren.
> Leider habe ich keine Idee wie ich [mm]A_2[/mm] angeben kann, da [mm]A_2[/mm]
> nicht dieselben EZ haben darf wie [mm]A_1.[/mm]
>
> Vielleicht fällt euch etwas ein?
Ich würde von den Operatoren ausgehen, die du kennst, und sie auf die gewünschten Eigenschaften überprüfen.
Tipp: der genannte Hamiltonoperator ist invariant bei Rotationen um die dritte Koordinatenachse.
Viele Grüße
Rainer
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