Kommutativer Ring IQ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Fr 11.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
| Aufgabe | Sei R die Menge aller Abbildungen von [mm] \IQ [/mm] in sich selbst, R = { f : [mm] \IQ \to \IQ}, [/mm] mit der punktweisen Addition und Multiplikation:
f + g : [mm] \IQ \to \IQ, [/mm] x [mm] \to [/mm] f(x) + g(x),
f [mm] \* [/mm] g : [mm] \IQ \to \IQ, [/mm] x [mm] \to [/mm] f(x) [mm] \* [/mm] g(x)
Zeigen Sie, dass (R, +, [mm] \* [/mm] ) ein kommutativer Ring ist. |
Hi, ich wollte wissen, ob meine Lösung so korrekt ist:
"Zeige, dass R kommutativer Ring ist.
Zeige zuerst, dass (R, +) abelsche Gruppe ist. (Definition eben)
Die Abbildung f + g : [mm] \IQ \to \IQ, [/mm] x [mm] \to [/mm] f(x) + g(x)
... ist assoziativ, falls:
1.) [mm] \forall [/mm] f, g, h [mm] \in [/mm] R : (f + g) + h = f + (g + h)
Wende auf x an...
[mm] \Rightarrow [/mm] ((f + g) + h) (x) = (f + (g + h)) (x) , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (f + g) (x) + h (x) = f(x) + (g + h) (x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x)
Damit ist f + g assoziativ!
... ist kommutativ, falls,
2.) [mm] \forall [/mm] f, g [mm] \in [/mm] R : (f + g) = (g + f)
[mm] \Rightarrow [/mm] (f + g) (x) = (g + f) (x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
Damit ist f + g kommutativ
... hat neutrales Element e(x) [mm] \in [/mm] R, mit,
3.) [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] R : e + f = f = f + e
[mm] \Rightarrow [/mm] e(x) + f(x) = f(x) = f(x) + e(x)
(wähle e(x) = 0)
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 + f(x) = f(x) = f(x) + 0
Damit ist 0 neutrales Element.
... hat inverses Element, falls,
4.) [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] R : [mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] R zu f, mit:
f + h = e = h + f
f(x) + h(x) = e = h(x) + f(x)
(wähle h(x) = - f(x) )
f(x) + (-f(x)) = 0 = e...
Damit ist - f(x) inverses element.
[mm] \Rightarrow [/mm] Damit ist (R, +) abelsche Gruppe.
Zeige nun noch:
(R, [mm] \* [/mm] ) ist Monoid... also assoziativ und neutr. Element.
... assoziativ:
[mm] \forall [/mm] f, g, h [mm] \in [/mm] R : (f [mm] \* [/mm] g) [mm] \* [/mm] h = f [mm] \* [/mm] (g [mm] \* [/mm] h)
[mm] \Rightarrow [/mm] ((f [mm] \* [/mm] g) [mm] \* [/mm] h ) (x) = (f [mm] \* [/mm] (g [mm] \* [/mm] h)) (x) , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (f [mm] \* [/mm] g) (x) [mm] \* [/mm] h(x) = f(x) [mm] \* [/mm] (g [mm] \* [/mm] h) (x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \* [/mm] g(x) [mm] \* [/mm] h(x) = f(x) [mm] \* [/mm] g(x) [mm] \* [/mm] h(x)
Damit ist (R, [mm] \* [/mm] ) assoziativ..
Folgende Beweise erfolgen analog (wie oben, eben dass ich meine Abbildungen auf alle x der Menge [mm] \IQ [/mm] anwende, bin nur zu faul es im Editor hier auszuführen):
Neutrales Element = 1... stimmt
1 [mm] \not= [/mm] 0 ... stimmt
Distributivgesetze ... sind beide anwendbar ... stimmt
[mm] \Rightarrow [/mm] (R, +, [mm] \* [/mm] ) ist kommutativer Ring!"
Stimmt das so?
mfg,
Dezt
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Deztiny,
> Sei R die Menge aller Abbildungen von [mm]\IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in sich selbst, R
> = { f : [mm]\IQ \to \IQ},[/mm] mit der punktweisen Addition und
> Multiplikation:
> f + g : [mm]\IQ \to \IQ,[/mm] x [mm]\to[/mm] f(x) + g(x),
> f [mm]\*[/mm] g : [mm]\IQ \to \IQ,[/mm] x [mm]\to[/mm] f(x) [mm]\*[/mm] g(x)
> Zeigen Sie, dass (R, +, [mm]\*[/mm] ) ein kommutativer Ring ist.
> Hi, ich wollte wissen, ob meine Lösung so korrekt ist:
>
> "Zeige, dass R kommutativer Ring ist.
> Zeige zuerst, dass (R, +) abelsche Gruppe ist. (Definition
> eben)
> Die Abbildung f + g : [mm]\IQ \to \IQ,[/mm] x [mm]\to[/mm] f(x) + g(x)
>
> ... ist assoziativ, falls:
> 1.) [mm]\forall[/mm] f, g, h [mm]\in[/mm] R : (f + g) + h = f + (g + h)
> Wende auf x an...
> [mm]\Rightarrow[/mm]
Was soll das [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bedeuten? Du gehst hier und in der Folge sehr sorglos mit den Implikationen um!
Bedenke, dass 2 Funktionen gleich sind, wenn sie für jedes Argument denselben Funktionswert liefern
Formal fange so an:
Seien [mm] $f,g,h\in [/mm] R$ und sei [mm] $x\in\IQ$ [/mm] beliebig.
Dann ist $((f+g)+h)(x)=.....=(f+(g+h))(x)$
> ((f + g) + h) (x) = (f + (g + h)) (x) ,
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IQ[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (f + g) (x) + h (x) = f(x) +
> (g + h) (x)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x)
> Damit ist f + g assoziativ! (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
>
> ... ist kommutativ, falls,
> 2.) [mm]\forall[/mm] f, g [mm]\in[/mm] R : (f + g) = (g + f)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (f + g) (x) = (g + f) (x) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IQ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) + g(x) = g(x) + f(x)
> Damit ist f + g kommutativ
Das ist wieder kraus aufgeschrieben, aber so auf der "Argumentebene" läuft das ab ...
>
> ... hat neutrales Element e(x) [mm]\in[/mm] R,![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
$e(x)$ ist für ein [mm] $e\in [/mm] R$ doch eine rationale Zahl ...
> mit,
> 3.) [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] R : e + f = f = f + e
> [mm]\Rightarrow[/mm] e(x) + f(x) = f(x) = f(x) + e(x)
> (wähle e(x) = 0)
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0 + f(x) = f(x) = f(x) + 0
> Damit ist 0 neutrales Element.
Besser so: wähle [mm] $e\in [/mm] R$ mit [mm] $e:\IQ\to\IQ, x\mapsto [/mm] 0$
Dann gilt für jedes [mm] $f\in [/mm] R$ und bel. [mm] $x\in \IQ$
[/mm]
$(f+e)(x)=f(x)+e(x)=...$
>
> ... hat inverses Element, falls,
> 4.) [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] R : [mm]\exists[/mm] h [mm]\in[/mm] R zu f, mit:
> f + h = e = h + f
> f(x) + h(x) = e = h(x) + f(x)
> (wähle h(x) = - f(x) )
> f(x) + (-f(x)) = 0 = e...
> Damit ist - f(x) inverses element.
Stimmt!
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Damit ist (R, +) abelsche Gruppe.
>
> Zeige nun noch:
> (R, [mm]\*[/mm] ) ist Monoid... also assoziativ und neutr.
> Element.
> ... assoziativ:
> [mm]\forall[/mm] f, g, h [mm]\in[/mm] R : (f [mm]\*[/mm] g) [mm]\*[/mm] h = f [mm]\*[/mm] (g [mm]\*[/mm] h)
> [mm]\Rightarrow[/mm] ((f [mm]\*[/mm] g) [mm]\*[/mm] h ) (x) = (f [mm]\*[/mm] (g [mm]\*[/mm] h)) (x) ,
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IQ[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (f [mm]\*[/mm] g) (x) [mm]\*[/mm] h(x) = f(x)
> [mm]\*[/mm] (g [mm]\*[/mm] h) (x)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\*[/mm] g(x) [mm]\*[/mm] h(x) = f(x) [mm]\*[/mm] g(x) [mm]\*[/mm] h(x)
> Damit ist (R, [mm]\*[/mm] ) assoziativ..
Jo, bissl sauberer aufschreiben (siehe oben, dann passt es)
> Folgende Beweise erfolgen analog (wie oben, eben dass ich
> meine Abbildungen auf alle x der Menge [mm]\IQ[/mm] anwende, bin nur
> zu faul es im Editor hier auszuführen):
> Neutrales Element = 1... stimmt
> 1 [mm]\not=[/mm] 0 ... stimmt
> Distributivgesetze ... sind beide anwendbar ... stimmt
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (R, +, [mm]\*[/mm] ) ist kommutativer Ring!"
>
> Stimmt das so?
Jo, im Großen und Ganzen!
>
> mfg,
> Dezt
>
> P.S.:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Deztiny |
Danke für die Korrektur.
Genau an deinen KOrrigierten Stellen war ich mir nciht sicher, ob das so formal ok ist^^ (vor allem beim Neutralen Element).
Ich werds entsprechend verbessern, vom Sinn her habe ich es verstanden.
(Ist für mich beantwortet!)
mfg,
Dezt
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