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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Kommutative Untergruppe
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Kommutative Untergruppe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:40 So 12.12.2010
Autor: Highchiller

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Menge
G := [mm] \begin{cases}A \in \IR^{2,2}\quad | \quad \exists \alpha \in \IR : A = \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \end{cases} [/mm]

mit der Matrixmultiplikation eine kommutative Untergruppe von [mm] GL_{2}(\IR) [/mm] ist. Wenn nicht, welche Eigenschaften sind noch erfüllt?

Hinweis: Sie dürfen die Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen ohne Beweis verwenden.

Also ehrlich gesagt, versteh ich die Aufgabe gar nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank.

        
Bezug
Kommutative Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 So 12.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Highchiller,


> Untersuchen Sie, ob die Menge
>  G := [mm]\begin{cases}A \in \IR^{2,2}\quad | \quad \exists \alpha \in \IR : A = \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \end{cases}[/mm]
>  
> mit der Matrixmultiplikation eine kommutative Untergruppe
> von [mm]GL_{2}(\IR)[/mm] ist. Wenn nicht, welche Eigenschaften sind
> noch erfüllt?
>  
> Hinweis: Sie dürfen die Additionstheoreme für
> trigonometrische Funktionen ohne Beweis verwenden.
>  Also ehrlich gesagt, versteh ich die Aufgabe gar nicht.
>  Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Na, prüfe die 3 Untergruppenkriterien:

1) Ist [mm] $G\neq\emptyset$ [/mm] bzw. äquivalent: ist das neutr. Element aus [mm] $\operatorname{Gl}_2(\IR)$ [/mm] in $G$ ?

Welches ist das und ist es in $G$?

2) Ist mit [mm] $A,B\in [/mm] G$ auch [mm] $A\cdot{}B\in [/mm] G$ (Hinweis verwenden)

Edit:

3) Mit [mm] $A\in [/mm] G$ ist auch [mm] $A^{-1}\in [/mm] G$

War geistig umnebelt - sorry

Edit Ende

> Vielen Dank.

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Kommutative Untergruppe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 So 12.12.2010
Autor: Highchiller

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

1) A = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} \Rightarrow A^{-1} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & \sin{\alpha} \\ -\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} [/mm]

Mit Hilfe der Additionstheoreme kommt man da ganz leicht drauf.
Aber was nun? Muss ich jetzt ein [mm] \alpha [/mm] angeben für das $A = [mm] A^{-1}$ [/mm] gilt?

2) Wir wählen A = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{bmatrix} [/mm] und B = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\beta} & -\sin{\beta} \\ \sin{\beta} & \cos{\beta} \end{bmatrix} [/mm]
Dann gilt
A [mm] \cdot [/mm] B = [mm] \begin{bmatrix} \cos{\alpha+\beta} & -\sin{\alpha+\beta} \\ \sin{\alpha+\beta} & \cos{\alpha+\beta} \end{bmatrix} [/mm]

Das ist ja eindeutig. Denk ich mal.

3) Hmm naja. Ich denke nicht das 3. gilt. Aber wie soll ich das aufschreiben? Reicht es dass
[mm] \lambda \cdot [/mm] A = [mm] \begin{bmatrix} \lambda\cos{\alpha} & -\lambda\sin{\alpha} \\ \lambda\sin{\alpha} & \lambda\cos{\alpha} \end{bmatrix} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Kommutative Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mo 13.12.2010
Autor: wieschoo

Dir fehlt also nur noch
[mm] $e\in [/mm] U$
Das neutrale Element ist ja die Einheitsmatrix und diese liegt in o(2). Damit ist O(2) eine Untergruppe von Gl(2)


Bezug
                
Bezug
Kommutative Untergruppe: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 So 12.12.2010
Autor: wieschoo

Dein 3) ist KEIN Untergruppenaxiom sondern einer Untervektorraumaxiom.

Richtig wäre zu zeigen, dass gilt [mm]a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U[/mm] . Und das ist hier der Falls, da [mm]O(2)\;[/mm] eine Untergruppe von [mm]GL(2,\IR)[/mm] ist.




PS: Irgendwie ist das eine Frage geworden. Hilfe. Ich habe aber auf Mitteilung geklickt. Ich schwöre!

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