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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:07 Mo 03.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Bei dem Beweis :
Die Abbildung sgn: [mm] S_n [/mm] -> [mm] \{ 1,-1\}, sgn(\sigma) [/mm] = [mm] (-1)^{\#\{(i,j): i < j und \sigma(i) > \sigma(j)\}}, [/mm]
ist ein gruppenhomomorphismus, der jede Transposition auf -1 abbildet.
[mm] S_n [/mm] ..Menge aller Permutationen
[mm] \# [/mm] heißt anzahl |
Stecke ich am Anfang fest. Im Skript steht gleich zu Beginn:
Sei [mm] \sigma \in S_n [/mm] und [mm] \tau [/mm] = [mm] \tau_{k,k+1}, [/mm] wobei 1 <= k <n. [mm] (\tau [/mm] .. Transposition)
Dann gilt
[mm] \#\{(i,j): i < j und (\sigma \circ \tau) (i) > (\sigma \circ \tau)(j)\} [/mm] = [mm] \#\{(i,j): i < j und \sigma(i) > \sigma(j)\}\pm [/mm] 1
Der Lehrer sagte dies ist eine kombinatorische Überlegung und mit hilfe seiner tipps hab ich das versucht zu verstehen:
Fall i, j < k
klar hier sind einfach dieselben Paare da [mm] \tau [/mm] auf j und i nichts tut
Fall i >k+1
i< j also [mm] \tau [/mm] weder auf i noch auf j etwas macht -> selbe Paare
Fall i <k , j >k+1
[mm] \tau [/mm] weder auf i noch auf j etwas macht -> selbe Paare
Fall i=k, j=k+1
[mm] \# \{(i,j): i < j und (\sigma \circ \tau) (i) > (\sigma \circ \tau)(j)\} [/mm] =
[mm] \#\{(i,j): i < j und \sigma (k+1) > \sigma (k)\} [/mm]
und
[mm] \#\ [/mm] {(i,j): i < j und [mm] \sigma(i) [/mm] > [mm] \sigma(j)\}= [/mm]
[mm] \#\ [/mm] {(i,j): i < j und [mm] \sigma(k) [/mm] > [mm] \sigma(k+1)\}
[/mm]
FRAGE: Und warum unterscheiden sich die nun um 1 ???
Fall j=k+1, i < k
[mm] \# \{(i,j): i < j und ( \sigma \circ \tau) (i) > (\sigma \circ \tau)(j)\} [/mm] =
[mm] \# \{(i,j): i < j und \sigma (i) > \sigma (k)\} [/mm]
und
[mm] \# \{(i,j): i < j und \sigma(i) > \sigma(j)\}= [/mm]
[mm] \# \{(i,j): i < j und \sigma(i) > \sigma(k+1)\}
[/mm]
FRAGE:Wie ist das nun hier?
Fall j=k, i < k
[mm] \# \{(i,j): i < j und (\sigma \circ \tau) (i) > (\sigma \circ \tau)(j)\} [/mm] =
[mm] \# \{(i,j): i < j und \sigma (i) > \sigma (k+1)\} [/mm]
und
[mm] \# \{(i,j): i < j und \sigma(i) > \sigma(j)\}= [/mm]
[mm] \# \{(i,j): i < j und \sigma(i) > \sigma(k)\}
[/mm]
Selbe wie obige Fall-
Bitte helft mir ;) Ich möchte das verstehen!
LG,
qausimo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Di 04.09.2012 | | Autor: | quasimo |
Keiner eine Idee?
LG,
quasimo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 05.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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