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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Di 10.05.2005 | | Autor: | paperjam |
Hallo
Ich hänge bei folgender Aufgabe:
Auf der Menge [mm] \mbox{Sur(k,n)} [/mm] wird durch
[mm] \mbox{f \sim g :\gdw} [/mm] es gibt eine Permutation [mm] \mbox{\delta \in Sym_{n}} [/mm] mit [mm] \mbox{f = \delta \circ{} g} [/mm] definiert.
Zeigen Sie, dass jede Äquivalenzklasse der Quotientenmenge [mm] \mbox{Sur(k,n)/\sim} [/mm] aus [mm] \mbox{n!} [/mm] Elementen von [mm] \mbox{Sur(k,n)} [/mm] besteht.
Ich wäre froh wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo paperjam!
Ich sehe gerade nicht, wo das Problem liegt. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Für $g [mm] \in \mbox{Sur}(k,n)$ [/mm] gilt:
$[g] = [mm] \{ \sigma \circ g\, : \, \sigma \in S_n\}$.
[/mm]
Die Elemente sind alle verschieden, d.h. für [mm] $\sigma,\sigma' \in S_n$ [/mm] mit [mm] $\sigma \ne \sigma'$ [/mm] gilt:
[mm] $\sigma \circ [/mm] g [mm] \ne \sigma' \circ [/mm] g$,
denn es gibt ein $k [mm] \in \{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $\sigma(k) \ne \sigma'(k)$ [/mm] und wegen der Surjektivität von $g$ ein $j [mm] \in \{1,2,\ldots,k\}$ [/mm] mit $g(j)=k$, so dass
[mm] $(\sigma \circ [/mm] g)(j) = [mm] \sigma(k) \ne \sigma'(k) [/mm] = [mm] (\sigma' \circ [/mm] g)(j)$.
Damit folgt:
$|[g]| = [mm] |\{\sigma \circ g\, : \, \sigma \in S_n\}| [/mm] = [mm] |S_n| [/mm] = n!$.
Viele Grüße
Julius
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