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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 So 20.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | 1.1
Sei M = {1, ...., 99, 100}
(a) Wieviele 4-elementigen Teilmengen gibt es?
(b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Elemente aus M auszuwählen, wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt und Wiederholungen möglich sind?
(c) Wieviele 3-elementigen Teilmengen {a, b, c} von M gibt es, wenn a+b+c gerade sein soll.
(d) Wieviele Teilmengen von gibt es mit genau 17 ungeraden Zahlen?
(e) Wieviele 4-Tupel gibt es in [mm] M^{4}?
[/mm]
(f) Wieviele 3-Tupel (a, b, c) [mm] \in M^{3} [/mm] gibt es, wenn a+b+c gerade sein soll?
(g) Wieviele 5-Tupel [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) \in M^{5} [/mm] gibt es, wenn [mm] \summe_{i=1}^{5} x_{i}= [/mm] 30 gelten soll?
1.2
Sei A = {1, 2, 3, 4}.
(a) Wieviele Permutationen auf A gibt es?
(b) Wieviele Permutationen auf A gibt es, die die 3 festlassen?
(c) Wieviele Permutationen auf A gibt es, die kein Element von A festlassen? |
Hi,
weil ich mir bei manchen Lösungen doch sehr unsicher bin bitte ich darum, diese auf Richtigkeit zu überprüfen und mir bei den ungelösten Aufgaben einen kleinen Tipp zu geben. :P
1.1
(a) [mm] \vektor{100 \\ 4} [/mm] Teilmengen.
(b) [mm] \vektor{103 \\ 4} [/mm] Teilmengen.
(c) [mm] \vektor{50 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{50 \\ 2} \* [/mm] 50 Teilmengen, weil es entweder 2 ungerade und eine gerade Zahl, oder 3 gerade Zahlen sein müssen und es jeweils 50 gerade und 50 ungerade Zahlen [mm] \in [/mm] M gibt.
(d) Hier weiß ich nicht wirklich wie sie zu lösen ist. Kann mit da jemand einen Tipp geben?
(e) [mm] (100)_{4}
[/mm]
(f) [mm] (50)_{3} [/mm] + [mm] (50)_{2} \* [/mm] 50
(g) Auch hier fehlt mir der Ansatz.
1.2
(a) 4! = 4 [mm] \* [/mm] 3 [mm] \* [/mm] 2 [mm] \* [/mm] 1 Permutationen.
(b) 3! Permutationen
(c) 8 Permutationen, indem ich durchprobiert habe. Stimmt das und wie lässt sich die Aufgabe anders lösen?
Vielen Dank :),
Grüße
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Hallo Neongelb,
offenbar hat sonst niemand Lust, einen ganzen Aufgabenzettel zu bearbeiten...
Es ist besser, Du stellst nur die Aufgaben, bei denen du unsicher bist, jeweils einzeln ein.
> 1.1
> Sei M = {1, ...., 99, 100}
> (a) Wieviele 4-elementigen Teilmengen gibt es?
> (b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Elemente aus M
> auszuwählen, wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt und
> Wiederholungen möglich sind?
> (c) Wieviele 3-elementigen Teilmengen {a, b, c} von M gibt
> es, wenn a+b+c gerade sein soll.
> (d) Wieviele Teilmengen von gibt es mit genau 17
> ungeraden Zahlen?
> (e) Wieviele 4-Tupel gibt es in [mm]M^{4}?[/mm]
> (f) Wieviele 3-Tupel (a, b, c) [mm]\in M^{3}[/mm] gibt es, wenn
> a+b+c gerade sein soll?
> (g) Wieviele 5-Tupel [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) \in M^{5}[/mm]
> gibt es, wenn [mm]\summe_{i=1}^{5} x_{i}=[/mm] 30 gelten soll?
>
>
> 1.2
> Sei A = {1, 2, 3, 4}.
> (a) Wieviele Permutationen auf A gibt es?
> (b) Wieviele Permutationen auf A gibt es, die die 3
> festlassen?
> (c) Wieviele Permutationen auf A gibt es, die kein Element
> von A festlassen?
>
> Hi,
> weil ich mir bei manchen Lösungen doch sehr unsicher bin
> bitte ich darum, diese auf Richtigkeit zu überprüfen und
> mir bei den ungelösten Aufgaben einen kleinen Tipp zu
> geben. :P
>
> 1.1
> (a) [mm]\vektor{100 \\
4}[/mm] Teilmengen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b) [mm]\vektor{103 \\
4}[/mm] Teilmengen.
Kannst Du das begründen? Ich habe da etwas anderes heraus.
> (c) [mm]\vektor{50 \\
3}[/mm] + [mm]\vektor{50 \\
2} \*[/mm] 50 Teilmengen,
> weil es entweder 2 ungerade und eine gerade Zahl, oder 3
> gerade Zahlen sein müssen und es jeweils 50 gerade und 50
> ungerade Zahlen [mm]\in[/mm] M gibt.
Gut überlegt und richtig.
> (d) Hier weiß ich nicht wirklich wie sie zu lösen ist.
> Kann mit da jemand einen Tipp geben?
[mm] \vektor{50\\17}*2^{50}, [/mm] der erste Faktor für die Auswahl der ungeraden Elemente, der zweite für die geraden Elemente, von denen jedes zwei Möglichkeiten hat: es ist enthalten oder eben nicht.
> (e) [mm](100)_{4}[/mm]
Wenn das [mm] 100^4 [/mm] heißen soll, ist es richtig.
> (f) [mm](50)_{3}[/mm] + [mm](50)_{2} \*[/mm] 50
Im zweiten Summanden fehlt noch ein Faktor für die Anordnung (hier: Position der geraden Zahl).
> (g) Auch hier fehlt mir der Ansatz.
Auf wieviele Arten kann man 30 in fünf Summanden zerlegen, wenn die Reihenfolge mit berücksichtigt wird und jeder Summand mindestens 1 sein soll?
Antwort: [mm] \vektor{29\\4}
[/mm]
Wenn auch 0 als Summand zugelassen wäre, gäbe es [mm] \vektor{34\\4} [/mm] Möglichkeiten.
> 1.2
> (a) 4! = 4 [mm]\*[/mm] 3 [mm]\*[/mm] 2 [mm]\*[/mm] 1 Permutationen.
> (b) 3! Permutationen
> (c) 8 Permutationen, indem ich durchprobiert habe. Stimmt
> das und wie lässt sich die Aufgabe anders lösen?
2143
2341
2413
3142
3412
3421
4123
4312
4321
Das sieht eher nach 9 aus, finde ich. 
Rechnung: [mm] \vektor{4\\4}*(4!-1)-\vektor{4\\3}*0-\vektor{4\\2}*(2!-1)-\vektor{4\\1}*\blue{2}=1*(24-1)-4*0-6*1-4*2=23-14=9
[/mm]
Die blaue 2 ist dabei das einzige Problem. Sie gibt an, wieviele Permutationen von 3 Elementen es gibt, so dass keins seine Stelle behält. Man könnte obige Formel also recht leicht rekursiv erweitern.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Neongelb |
Okay, ich werde mich daran halten. Um so mehr bedanke ich mich jetzt bei dir, dass du dir diese Zeit genommen hast. :)
Jedoch habe ich noch ein paar Fragen:
zu (b): Für die Möglichkeiten 4 Elemente aus M auszuwählen ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen und Wiederholungen möglich sind habe ich eine Formel aus dem Skript angewandt: [mm] \vektor{n+k-1 \\ k}
[/mm]
Habe ich diese Falsch verstanden?
zu (f): $ [mm] (50)_{3} [/mm] $ + $ [mm] (50)_{2} [/mm] * $ 50
Mir ist nicht klar, wieso ich nur beim zweiten Summanden auf die Anordnung Rücksicht nehmen muss, wo doch auch bei den 3 geraden Zahlen verschiedene Anornungen möglich sind. Außerdem wird doch durch die [mm] (50)_{3} [/mm] und [mm] (50)_{2} [/mm] die Anordnung berücksichtigt oder was verstehe ich falsch?
zu (g): Kannst du das vielleicht noch ein wenig ausführern, ich kann nicht wirklich nachvollziehen, wie du auf dieses Ergebnis gekommen bist.
vielen Dank :),
Grüße
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Hallo nochmal,
meine Mitteilung habe ich editiert, da sie falsch war.
> zu (b): Für die Möglichkeiten 4 Elemente aus M
> auszuwählen ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen und
> Wiederholungen möglich sind habe ich eine Formel aus dem
> Skript angewandt: [mm]\vektor{n+k-1 \\
k}[/mm]
> Habe ich diese
> Falsch verstanden?
Nein, völlig richtig. Ich hatte doch die Reihenfolge berücksichtigt, da bekommt man natürlich mehr Möglichkeiten.
> zu (f): [mm](50)_{3}[/mm] + [mm](50)_{2} *[/mm] 50
> Mir ist nicht klar, wieso ich nur beim zweiten Summanden
> auf die Anordnung Rücksicht nehmen muss, wo doch auch bei
> den 3 geraden Zahlen verschiedene Anornungen möglich sind.
> Außerdem wird doch durch die [mm](50)_{3}[/mm] und [mm](50)_{2}[/mm] die
> Anordnung berücksichtigt oder was verstehe ich falsch?
Ich frage mich immer noch, was das für eine Notation ist.
Bei 3 geraden Zahlen wird die Berücksichtigung der Anordnung dadurch gewährleistet, dass die drei Stellen des 3-Tupels einfach getrennt voneinander betrachtet werden. An jeder Stelle gibt es 50 Möglichkeiten, also insgesamt [mm] 50^3.
[/mm]
Ist nur 1 Zahl gerade, so kann diese an der Stelle a, an b oder an c stehen.
Für a gerade und b,c ungerade gibt es [mm] 50*50*50=50^3 [/mm] Möglichkeiten,
für b gerade und a,c ungerade ebenso,
für c gerade und a,b ungerade noch einmal.
Insgesamt also [mm] 4*50^3 [/mm] mögliche Tupel.
> zu (g): Kannst du das vielleicht noch ein wenig
> ausführern, ich kann nicht wirklich nachvollziehen, wie du
> auf dieses Ergebnis gekommen bist.
Verfolge lieber die Herleitungen, die ich Dir in der editierten Mitteilung verlinkt habe.
Grüße
reverend
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
fixpunktfreien Permutation