Kofinale Topologie, Konvergenz < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Fr 11.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir haben die kofinale Topologie auf einer Menge X definiert durch:
[mm] O_{C_o}:= \{A \subseteq X | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset
[/mm]
Stimmt es dass jede Folge in X gegen jedes x [mm] \in [/mm] X konvergiert? |
Hallo,
Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in X.
Sei x [mm] \in [/mm] X beliebig aber fix.
Sei [mm] U_x \in [/mm] U(x) eine Umgebung um x, d.h. [mm] \exists [/mm] O [mm] \in O_{C_o} [/mm] : x [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq U_x [/mm]
O [mm] \in O_{C_o} [/mm] d.h. [mm] X\setminus [/mm] O ist endlich.
Da X [mm] \setminus U_x \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] O folgt [mm] X\setminus U_x [/mm] endlich.
Wenn [mm] X\setminus U_x [/mm] endlich ist so muss es aber einen Index N geben sodass [mm] x_n \in U_x \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Da x beliebig gewählt war folgt : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in X:x_n \rightarrow [/mm] x
Korrekt?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 11.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben die kofinale Topologie auf einer Menge X
> definiert durch:
> [mm]O_{C_o}:= \{A \subseteq X | X\setminus A \mbox{ endlich }\} \cup \emptyset[/mm]
>
> Stimmt es dass jede Folge in X gegen jedes x [mm]\in[/mm] X
> konvergiert?
> Hallo,
> Sei [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in X.
> Sei x [mm]\in[/mm] X beliebig aber fix.
>
> Sei [mm]U_x \in[/mm] U(x) eine Umgebung um x, d.h. [mm]\exists[/mm] O [mm]\in O_{C_o}[/mm]
> : x [mm]\in[/mm] O [mm]\subseteq U_x[/mm]
> O [mm]\in O_{C_o}[/mm] d.h. [mm]X\setminus[/mm] O ist endlich.
> Da X [mm]\setminus U_x \subseteq[/mm] X [mm]\setminus[/mm] O folgt
> [mm]X\setminus U_x[/mm] endlich.
>
> Wenn [mm]X\setminus U_x[/mm] endlich ist so muss es aber einen Index
> N geben sodass [mm]x_n \in U_x \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>
> Da x beliebig gewählt war folgt : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in X:x_n \rightarrow[/mm]
> x
>
> Korrekt?
Nein. Nimm mal an, X enthält mind. 2 verschiedene Elemente x und y.
Setze [mm] x_n:=x [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und G:= X [mm] \setminus \{x\}. [/mm] Dann ist G eine offene Umgebung von y, [mm] x_n \in [/mm] G für kein(!) n, also konvergiert [mm] (x_n) [/mm] nicht gegen y.
FRED
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 11.09.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo
Stimmt ich habe die konstanten Folgen vergessen einzubeziehen!
D.h. die konstante Folge [mm] x_n=x [/mm] konvergiert bezüglich der kofinalen Topologie nur gegen x.
D.h. nur wenn die Menge [mm] \{x_n| n \in \mathbb{N}\} [/mm] unendlich ist (in einer Menge werden zwei gleiche Elemente nur einmal gezählt) gilt meine Behauptung dass jede Folge in X gegen jedes x $ [mm] \in [/mm] $ X konvergiert.
Oder kann man das so auch nicht formulieren?
Gibt es eine geschicktere Aussage über Konvergenz von Folgen in dieser Topologie?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Fr 11.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Stimmt ich habe die konstanten Folgen vergessen
> einzubeziehen!
> D.h. die konstante Folge [mm]x_n=x[/mm] konvergiert bezüglich der
> kofinalen Topologie nur gegen x.
Ja.
> D.h. nur wenn die Menge [mm]\{x_n| n \in \mathbb{N}\}[/mm] unendlich
> ist (in einer Menge werden zwei gleiche Elemente nur einmal
> gezählt) gilt meine Behauptung dass jede Folge in X gegen
> jedes x [mm]\in[/mm] X konvergiert.
> Oder kann man das so auch nicht formulieren?
Die Bedingung, dass [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] unendlich ist, ist zwar im Falle [mm] $|X|\not=1$ [/mm] notwendig für die Konvergenz von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen jedes [mm] $x\in [/mm] X$, wie man sich überlegen kann.
Sie ist jedoch nicht hinreichend:
Betrachte z.B. [mm] $X:=\IR$ [/mm] und die durch [mm] $(0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,\ldots)$ [/mm] angedeutete Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
Obwohl [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}=\IN_0$ [/mm] unendlich ist, konvergiert die Folge bezüglich unserer Topologie nur gegen 0.
(Überlege dir am besten, dass diese Folge tatsächlich gegen 0 konvergiert und gegen jeden anderen Wert [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] nicht konvergiert.)
> Gibt es eine geschicktere Aussage über Konvergenz von
> Folgen in dieser Topologie?
Ja: [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert bezüglich unserer Topologie genau dann gegen $x$, wenn für jedes [mm] $y\in [/mm] X$ mit [mm] $y\not=x$ [/mm] die Menge [mm] $M_y:=\{n\in\IN\;|\;x_n=y\}$ [/mm] endlich ist, wenn die Folge also jeden Wert außer x nur endlich oft annimmt.
(Kannst du dieses Konvergenzkriterium beweisen?)
Somit liegt für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] einer der folgenden Fälle vor:
1. Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ ist [mm] $M_x$ [/mm] endlich, d.h. die Folge nimmt jeden Wert nur endlich oft an.
Dann konvergiert die Folge gegen jeden Punkt [mm] $x\in [/mm] X$.
2. Es gibt genau ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $M_x$ [/mm] unendlich, d.h. die Folge nimmt den Wert x unendlich oft an, alle anderen Werte nur endlich oft.
Dann konvergiert die Folge genau gegen den Punkt x und gegen keinen weiteren.
3. Es gibt mindestens zwei [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $M_x$ [/mm] unendlich, d.h. die Folge nimmt mehrere Werte unendlich oft an.
Dann ist die Folge divergent.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 Sa 12.09.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Infos.
Ja den Fall, dass die Menge X endlich ist, lassen wir mal beiseite denn dann haben wir die diskrete Topologie.
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \forall U_x \in \mathcal{U}(x) \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x
[/mm]
Sei y [mm] \in [/mm] X mit [mm] y\not=x
[/mm]
ZZ.: [mm] |M_y| [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Sei [mm] U_x :=X\setminus\{y\} [/mm] so [mm] \exists [/mm] N: [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x
[/mm]
D.h. [mm] x_n \not=y
[/mm]
[mm] \rightarrow M_y \subseteq \{1,2,..,N-1\} [/mm]
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Sei [mm] U_x \in \mathcal{U}(x)
[/mm]
Nach meiner Bemerkung in Post 1 ist [mm] U_x [/mm] offen, da [mm] U_x\not= \emptyset [/mm] folgt [mm] X\setminus U_x [/mm] ist endlich.
ZZ.: [mm] \exists [/mm] N : [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x
[/mm]
Für alle y [mm] \in X\setminus U_x [/mm] ist [mm] M_y [/mm] endlich. Folge nimmt jeden Wert(endlich viele) in [mm] X\setminus U_x [/mm] nur endlich oft an.
Hier weiß ich nicht wie ich den Beweis am besten zu Ende führe?
Wie ist das eigentlich mit dem Häufungswert?
[mm] \forall U_x \in \mathcal{U}(x): \forall [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}: \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] x_n \in U_x
[/mm]
gibt es da ein "nicht so scharfes" Kriterium?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Sa 12.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Wie ist das eigentlich mit dem Häufungswert?
> [mm]\forall U_x \in \mathcal{U}(x): \forall[/mm] N [mm]\in \mathbb{N}: \exists[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N: [mm]x_n \in U_x[/mm]
> gibt es da ein "nicht so scharfes"
> Kriterium?
Es gilt folgendes Kriterium:
$x$ ist Häufungswert von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ $\iff$ $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist unendlich oder [mm] $M_x:=\{n\in\IN\;|\;x_n=x\}$ [/mm] ist unendlich.
Für jede Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] liegt damit einer der folgenden Fälle vor:
1. [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist unendlich.
Dann ist jedes [mm] $x\in [/mm] X$ Häufungswert von [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$.
[/mm]
2. [mm] $\{x_n\;|\;n\in\IN\}$ [/mm] ist endlich.
Dann sind nur diejenigen [mm] $x\in [/mm] X$ Häufungswert, für die [mm] $M_x$ [/mm] unendlich ist, d.h. die schon selbst unendlich oft angenommen werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Fr 11.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Randbemerkung für Interessierte:
Es gibt zu jeder Menge $X$ genau eine Topologie, bezüglich der alle Folgen in $X$ gegen jeden Punkt in $X$ konvergieren: Nämlich die triviale Topologie, die nur [mm] $\emptyset$ [/mm] und $X$ als offene Mengen hat.
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