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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Kofaktoren
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Kofaktoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Di 05.07.2005
Autor: mausi

Hallo ihr lieben,

kann mir einer erklären was das mit den Kofaktoren auf sich hat??? ich soll nämlich mit hilfe der Kofaktoren die Inverse zu

B = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm] bestimmen
        
Bezug
Kofaktoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Di 05.07.2005
Autor: Paulus

Hallo Mausi

Zu jedem Eintrag einer Matrix kannst du den sogenannten Kofaktor berechen. Und zwar folgendermassen:

Du willst zum Eintrag [mm] $a_{ij}$ [/mm] den Kofaktor berechnen.

Dazu streichst du aus deiner Matrix die j-te Zeile und die i-te Spalte (also kreuzen sich deine Bleistiftstriche beim Eintrag [mm] $a_{ji}$; [/mm] also [mm] $a_{ij}$ [/mm] gespiegelt an der Hauptdiagonalen). Von der übriggebliebenen Matrix berechnest du die Determinante und multiplizierst sie noch mit [mm] $(-1)^{i+j}$. [/mm] Schon hast du deinen Kofaktor! ;-)

Wenn du von einer gegebenen Matrix jedes Element durch seinen Kofaktor ersetzt, und dann noch die ganze so entstehende Matrix durch die Determinante der ursprünglichen Matrix dividierst, so hast du die inverse Matrix der ursprünglichen Matrix berechnet. :-)

Ich zeige einmal ein Beispiel:

Deine Matrix ist ist ja diese:

$B = [mm] \pmat{2&0&2\\2&1&1\\1&2&0}$ [/mm]

Sei

[mm] $B^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(B)}*\pmat{x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}}$ [/mm]

Berechnen wir zum Beispiel [mm] $x_{23}$ [/mm]

Wir streichen also die 3. Zeile und die 2. Spalte und berechnen von der übriggebliebenen Matrix die Determinante:

[mm] $\vmat{2&2\\2&1} [/mm] = 2 - 4 = -2$

Dies multiplizieren wir noch mit [mm] $(-1)^5$ [/mm] (also mit -1) und erhalten so den Wert 2.

Somit sieht unsere zu B inverse Matrix bereits so aus:

[mm] $B^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(B)}*\pmat{x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&2\\x_{31}&x_{32}&x_{33}}$ [/mm]

Kannst du das jetzt zu Ende führen?
Die Determinante von $B_$ zu berechnen sollte ja auch kein grösseres Problem darstellen, oder?

Wenn du weitere Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe hast, dann meldest du dich einfach wieder, OK? :-)

Mit vielen Grüssen

Paul
Bezug
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