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| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] außer 1, [mm] p\in\IP [/mm]
z.z.: [mm] X^n-p [/mm] irreduzibel in [mm] \IQ\left[ X \right].
[/mm]
Wieso ist a= [mm] \wurzel[n]{p} \in\IR [/mm] außer [mm] \IQ. [/mm]
Was ist [ [mm] \IQ(a) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ]?
Ist [mm] \IQ(a) [/mm] bereits Zerfällungskörper für [mm] X^n-p [/mm] über [mm] \IQ? [/mm] |
Also, die Irreduzibilität habe ich schnell mit Eisenstein gezeigt und die Nullstelle a erklärt sich ja auch von selbst und dass diese nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt auch (vomlogischen her auf jeden Fall). Wie kann ich aber rechnerisch beweise, dass sie nicht in [mm] \IQ [/mm] liegt? Weiß da im Moment echt nicht weiter..
Den Grad der Körpererweiterung habe ich mit dem grad des Minimalpolynoms bestimmt, d.h. mit [mm] X^n-p. [/mm] Er beträgt also n, oder?
Die letzte Frage würde ich eher mit nein beantworten, da es ja noch mehrere Nullstellen des Polynoms geben kann, oder? Ich kann es jedoch nicht richtig erklären? Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich wär echt sehr dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Mi 03.09.2008 | | Autor: | andreas |
> Sei [mm]n\in\IN[/mm] außer 1, [mm]p\in\IP[/mm]
>
> z.z.: [mm]X^n-p[/mm] irreduzibel in [mm]\IQ\left[ X \right].[/mm]
> Wieso ist
> a= [mm]\wurzel[n]{p} \in\IR[/mm] außer [mm]\IQ.[/mm]
> Was ist [ [mm]\IQ(a)[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ]?
> Ist [mm]\IQ(a)[/mm] bereits Zerfällungskörper für [mm]X^n-p[/mm] über [mm]\IQ?[/mm]
> Also, die Irreduzibilität habe ich schnell mit Eisenstein
> gezeigt und die Nullstelle a erklärt sich ja auch von
> selbst
im prinzip also durch einsetzen.
> und dass diese nicht in [mm]\IQ[/mm] liegt auch (vomlogischen
> her auf jeden Fall). Wie kann ich aber rechnerisch beweise,
> dass sie nicht in [mm]\IQ[/mm] liegt?
das sollte so gehen, wie der beweis, dass [mm] $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$. [/mm] nimm also an dass [mm] $\sqrt[n]{p} [/mm] = [mm] \frac{a}{b}$ [/mm] ein vollständig gekürzter bruch ist, potenziere mit $n$ und führe die teilerfremdheit zum widerspruch.
> Den Grad der Körpererweiterung habe ich mit dem grad des
> Minimalpolynoms bestimmt, d.h. mit [mm]X^n-p.[/mm] Er beträgt also
> n, oder?
ja.
> Die letzte Frage würde ich eher mit nein beantworten, da
> es ja noch mehrere Nullstellen des Polynoms geben kann,
> oder? Ich kann es jedoch nicht richtig erklären? Kann mir
> da jemand weiterhelfen? Ich wär echt sehr dankbar!!
liegen denn alle nullstellen von $f$ in [mm] $\mathbb{R}$? [/mm] und wo liegt der erweiterungskörper?
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 03.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Eine kleine Anmerkung von mir:
> > und dass diese nicht in [mm]\IQ[/mm] liegt auch (vomlogischen
> > her auf jeden Fall). Wie kann ich aber rechnerisch beweise,
> > dass sie nicht in [mm]\IQ[/mm] liegt?
>
> das sollte so gehen, wie der beweis, dass [mm]\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}[/mm].
> nimm also an dass [mm]\sqrt[n]{p} = \frac{a}{b}[/mm] ein vollständig
> gekürzter bruch ist, potenziere mit [mm]n[/mm] und führe die
> teilerfremdheit zum widerspruch.
Das die Nullstelle nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt ist doch laengst gezeigt: denn wenn sie in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen wuerde, haette das Polynom einen Linearfaktor der sich in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] abspaltet, womit (da es irreduzibel ist) der Grad vom Polynom 1 sein muesste. Er ist jedoch $n$, welches nach Voraussetzung nicht 1 ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Mi 03.09.2008 | | Autor: | andreas |
hallo,
ja klar, das ist noch kürzer. ich dachte mir schon fast, dass das nicht der sinn der aufgabe sein kann das so nachzurechnen, aber habe dieses einfache argument völlig übersehen 
danke, grüße
andreas
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oh vielen dank. das hört sich gut an. aber reicht es denn nicht auch schon zu sagen, dass das polynom irreduzibel ist, darum keinen abzuspaltenden linearfaktor mehr besitzt und darum a nicht in [mm] \IQ [/mm] liegen kann.
eine kleine frage hätte ich noch zu der aussage, dass das polynom den grad 1 haben müsste, wenn ein linearfaktor abspaltbar wäre. wieso ist das so? hab da den zusammenhang nicht ganz mitbekommen...
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ach gott, ich dummerchen... dann wär der linearfaktor das neue minimalpolynom von a und da "linear" hat es den grad 1, ne? was aber nach vor. nicht möglich. ok. ich glaub es hat sich grad erledigt..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 04.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ach gott, ich dummerchen... dann wär der linearfaktor das
> neue minimalpolynom von a und da "linear" hat es den grad
> 1, ne? was aber nach vor. nicht möglich. ok. ich glaub es
> hat sich grad erledigt..
Genau so ist's.
LG Felix
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oh mann, ich hab manchmal echt ne lange leitung...
aber vielen dank nochmal!!
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