Körperhomomorphismus R -> C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die angegebne Abbildung
f: [mm] \IR \to \IC
[/mm]
a [mm] \mapsto [/mm] (a,0)
ein Körperhomomorphismus ist, d.h. f ist eine injektive Abbildung, für die
f (ab) = f(a)f(b)
und
f(a+b) = f(a) + f(b)
für alle a,b [mm] \in \IR [/mm] gilt. |
Hallo, irgendwie weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
Also ich habe f(a+b) = f((a+0),(0+b)) hilft mir das weiter?
f(ab)= f((a,0)*(0,b))=f((0-0),(ab-0))= f((0),(ab))
Ist wahrscheinlich ein falscher Ansatz, oder?
Freue mich über eure Antworten
Gabbabin
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Hallo Gabbabin,
> Zeigen Sie, dass die angegebne Abbildung
>
> f: [mm]\IR \to \IC[/mm]
> a [mm]\mapsto[/mm] (a,0)
> ein Körperhomomorphismus ist, d.h. f ist eine injektive
> Abbildung, für die
> f (ab) = f(a)f(b)
>
> und
>
> f(a+b) = f(a) + f(b)
> für alle a,b [mm]\in \IR[/mm] gilt.
>
> Hallo, irgendwie weiß ich nicht wie ich anfangen soll.
>
> Also ich habe f(a+b) = f((a+0),(0+b)) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
[mm]f[/mm] geht von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IC[/mm], die Argumente, die du in [mm]f[/mm] hineinstopfst, sind also reelle Zahlen.
Was soll da bitte [mm]f(\red{(a,b)})[/mm] bedeuten?
> hilft mir das
> weiter?
> f(ab)= f((a,0)*(0,b))=f((0-0),(ab-0))= f((0),(ab))
>
> Ist wahrscheinlich ein falscher Ansatz, oder?
Ja, das ist grober Unfug.
Du kannst doch [mm]\IC[/mm] mit dem [mm]\IR^2[/mm] identifizieren.
Schaue nach, wie ihr die Addition [mm](a+bi)+(c+di)[/mm] (in [mm]\IC[/mm]) bzw. hier als Addition im [mm]\IR^2[/mm] aufgefasst [mm](a,b)+(c,d)[/mm] definiert habt.
Das war komponentenweise, also [mm](a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)[/mm] oder als Tupel [mm](a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)[/mm]
Das benutze!
[mm]f(a+b)=(a+b,0)[/mm] so ist [mm]f[/mm] ja definiert.
Nun rechne aus, was [mm]f(a)+f(b)[/mm] ist. Ist das dasselbe?
Etwas schwieriger ist es mit der Multiplikation.
Schlage nach, wie ihr das definiert habt und gehe analog vor.
Für den Injektivitätsnachweis berechne mal den [mm]\operatorname{Kern}(f)[/mm] ...
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> Freue mich über eure Antworten
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> Gabbabin
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Danke für deine super schnelle Antwort.
Also ist f(a)+f(b)= ((f(a+0)),(f(b+0)), aber wie komme ich jetzt auf die Form f(a+b)?
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Hallo nochmal,
> Danke für deine super schnelle Antwort.
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> Also ist f(a)+f(b)= ((f(a+0)),(f(b+0)), aber wie komme ich
> jetzt auf die Form f(a+b)?
Nun, nutze die Definition der Addition!
Es ist [mm](a+0i)+(b+0i)=(a+b)+0i[/mm] bzw. in Tupelschreibweise [mm](a,0)+(b,0)=(a+b,0)[/mm]
Also [mm]f(a+b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Nach Definition von der Addition folgt:
f(a+b) = f(((a,0)+(b,0))= f(a+b,0)
f(a+b) = (a+b,0) = (a,0)+(b,0)= f(a)+f(b)
Für die Multiplikation habe ich jetzt
f(a*b)= (a,0)*(b,0) = (ab-0,0+0) = (ab,0)
Jetzt weiß ich leider nicht wie ich auf f(a)f(b) komme.
Ist der erste Teil mit der Addition so richtig und bin ich bei der Multiplikation auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Fr 08.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nach Definition von der Addition folgt:
>
> f(a+b) = f(((a,0)+(b,0))= f(a+b,0)
Nun, $f(a + b)$ ist ja ein gueltiger Ausdruck, aber was willst du mit $f(((a,0) + (b,0))$ und $f(a+b,0)$ sagen?! Wie schachuzipus schon gesagt hat: $f$ nimmt keine Tupel, sondern einfache reelle Zahlen als Argument! Die Zeile ergibt so ueberhaupt keinen Sinn!
Das hier dagegen ist richtig:
> f(a+b) = (a+b,0) = (a,0)+(b,0)= f(a)+f(b)
(Musst nur noch $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] dazuschreiben.)
> Für die Multiplikation habe ich jetzt
>
> f(a*b)= (a,0)*(b,0) = (ab-0,0+0) = (ab,0)
Das stimmt so nicht. Du faengst mit $f(a*b)$ an. Das ist gleich $(a*b, 0)$, und (erstmal) nicht gleich $(a,0) * (b,0)$. Dass es gleich $(a,0) * (b,0) = f(a) * f(b)$ ist, willst du doch gerade zeigen!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
Also gilt f(a*b) = (a*b,0)
f(a)*f(b) = (a,0)*(b*0)=(a*b-0,0+0)=(a*b,0)=f(a*b)
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Fr 08.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 So 10.04.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung [mm] w^2=-9 [/mm] |
Danke für die super Hilfe.
Zu dieser Aufgabe habe ich die Frage ob Folgendes richtig ist.
-9 = (-9,0)
(0,-3)*(0,-3) = (0*0-3*3,0*3+3*0) = (-9,0)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 So 10.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung [mm]w^2=-9[/mm]
> Danke für die super Hilfe.
>
> Zu dieser Aufgabe habe ich die Frage ob Folgendes richtig
> ist.
>
> -9 = (-9,0)
>
> (0,-3)*(0,-3) = (0*0-3*3,0*3+3*0) = (-9,0)
Das stimmt
FRED
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