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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Fr 09.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | welche Zwischenerweiterungen hat [mm] \IQ(i)(\wurzel[4]{38}) [/mm] über [mm] \IQ?
[/mm]
wieviele gibt es? |
das ist der Zerfällungskörper zu [mm] x^4-38 [/mm] in [mm] \IQ. [/mm] Das Polynom hat die Nullstellen [mm] +-\wurzel[4]{38} [/mm] und [mm] +-i\wurzel[4]{38}, [/mm] daher komme ich auf die Zwischenerweiterungen [mm] \IQ(i), \IQ(\wurzel[4]{38}) [/mm] und [mm] \IQ(i)(\wurzel[4]{38}) [/mm] .
Auf mehr bin ich jetzt nicht gekommen.
Die Begründung ist dass es keine weiteren Untergruppen der galoisgruppe gibt.
aber woher weiß ich wie viele Untergruppen es gibt und welche Untergruppen sind das jetzt?
Ich habe vresucht die elemente in der Galoisgruppe zu finden, bin aber nur auf die Identität und die komplexe Konjugation gekommen. Welche gibt es noch?
es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 10.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> welche Zwischenerweiterungen hat [mm]\IQ(i)(\wurzel[4]{38})[/mm]
> über [mm]\IQ?[/mm]
> wieviele gibt es?
> das ist der Zerfällungskörper zu [mm]x^4-38[/mm] in [mm]\IQ.[/mm] Das
> Polynom hat die Nullstellen [mm]+-\wurzel[4]{38}[/mm] und
> [mm]+-i\wurzel[4]{38},[/mm] daher komme ich auf die
> Zwischenerweiterungen [mm]\IQ(i), \IQ(\wurzel[4]{38})[/mm] und
> [mm]\IQ(i)(\wurzel[4]{38})[/mm] .
>
> Auf mehr bin ich jetzt nicht gekommen.
>
> Die Begründung ist dass es keine weiteren Untergruppen der
> galoisgruppe gibt.
> aber woher weiß ich wie viele Untergruppen es gibt und
> welche Untergruppen sind das jetzt?
Na, dazu musst du dir ueberhaupt erstmal ueberlegen, wie die Galoisgruppe aussieht. Bisher weisst du nur, dass sie 8 Elemente hat. Was kannst du ueber die Galoisgruppe aussagen?
> Ich habe vresucht die elemente in der Galoisgruppe zu
> finden, bin aber nur auf die Identität und die komplexe
> Konjugation gekommen. Welche gibt es noch?
Na, du kannst [mm] $\sqrt[4]{38}$ [/mm] auf sich selber, auf $i [mm] \sqrt[4]{38}$, [/mm] auf [mm] $i^2 \sqrt[4]{38}$ [/mm] und auf [mm] $i^3 \sqrt[4]{38}$ [/mm] abbilden, also auf alle anderen Nullstellen des Minimalpolynoms.
Dies zusammen kombiniert mit $i [mm] \mapsto [/mm] -i$ gibt dir alle acht Automorphismen.
Betrachte doch zwei Automorphismen: [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma(\sqrt[4]{38}) [/mm] = i [mm] \sqrt[4]{38}$ [/mm] und [mm] $\sigma(i) [/mm] = i$, und [mm] $\tau$ [/mm] mit [mm] $\tau(\sqrt[4]{38}) [/mm] = [mm] \sqrt[4]{38}$ [/mm] und [mm] $\tau(i) [/mm] = -i$. Ich behaupte nun, dass [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] die Galoisgruppe erzeugen. (Die Elemente sind $id$, [mm] $\sigma$, [/mm] ..., [mm] $\sigma^3$, $\tau$, $\tau \sigma$, [/mm] ..., [mm] $\tau \sigma^3$.)
[/mm]
LG Felix
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