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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 16.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
| Aufgabe | Es sei L der Zerfällungskörper von [mm] p(x)=(x^2 +1)(x^2 [/mm] -7) üder K=IQ
1. Bestimmen Sie alle Zwischenkörper [mm] K\subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] L und geben Sie das Unterkörperdiagramm an.
2. Berechnen Sie die Galoisgruppe G=Gal(L:K) und wie diese auf die Nullstellen von p(x) operiert.
3. Berechnen Sie die Galoisgruppe Gal(L:M) für jeden Zwischenkörper M. |
Hallo zusammen!!
ich habe da diese Aufgabe, die ich schon teilweise gelöst habe, bzw. die Teillösungen kenne.
Mein Lösungsansatz:
1. p hat die Nullstellen +-i und +- [mm] \wurzel{7} [/mm] => L=IQ(i, [mm] \wurzel{7} [/mm] , i* [mm] \wurzel{7} [/mm] ), also ist [L:K]=4 da L die [mm] \IQ-Basis [/mm] (1, i, [mm] \wurzel{7}, [/mm] i* [mm] \wurzel{7}) [/mm] hat => Es gibt wegen des Gradsatzes 2 Zwischenkörper.
Nun, dass es die richtige Basis ist, ist mir schon bekannt, ich verstehe nur nicht, warum die 1 auch in der Basis von L über [mm] \IQ [/mm] sein muss, man kann je die 1 aus [mm] i^4 [/mm] =1 kostruieren, also liegt die 1 in der Basis bereits??
Wie bestimme ich nun alle Zwischenkörper? Nach dem Gradsatz gibt es ja 2 Zwischenkörper [mm] M_{1} [/mm] und [mm] M_{2} [/mm] mit [mm] \IQ [/mm] = [mm] K\subset M_{1}\subset M_{2}\subset\IQ [/mm] =( i, [mm] \wurzel{7} [/mm] , i* [mm] \wurzel{7} [/mm] ).
Also für [mm] M_{1} [/mm] gibt es mehrere Möglichkeiten:
1). [mm] M_{1} [/mm] = [mm] \IQ(i) [/mm] , dann ist [mm] M_{2} [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ( i, [mm] \wurzel{7}) [/mm]
oder
2). [mm] M_{1} [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel{7}) [/mm] , dann ist [mm] M_{2} [/mm] = [mm] \IQ( [/mm] i, [mm] \wurzel{7}) [/mm]
Welche Lösung von denen ist richtig, wenn eine überhaupt dabei ist?
Werde mich echt freuen, wenn mir jemand weiter helfen kann.
LG
Julia
Nun der Pasus für einen Erstposter:
ich akzeptiere die Zusicherung bzgl. Cross-Postings durchzulesen
und zu akzeptieren (die Zusicherung steht direkt über der Betreffzeile).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Julia,
> Mein Lösungsansatz:
> 1. p hat die Nullstellen +-i und +- [mm]\wurzel{7}[/mm] => L=IQ(i,
> [mm]\wurzel{7}[/mm] , i* [mm]\wurzel{7}[/mm] ),
Die Darstellung [mm] $L=\IQ(i,\sqrt{7})$ [/mm] ist effizienter.
> also ist [L:K]=4 da L die
> [mm]\IQ-Basis[/mm] (1, i, [mm]\wurzel{7},[/mm] i* [mm]\wurzel{7})[/mm] hat
Das mußt Du gegebenenfalls noch zeigen. Auf jeden Fall ist das Ergebnis richtig.
> Es
> gibt wegen des Gradsatzes 2 Zwischenkörper.
Das stimmt so nicht. Erstens sehe ich nicht, wie das aus dem Gradsatz folgen sollte und zweitens gibt es (mindestens) vier Zwischenkörper, nämlich [mm] \IQ,\IQ(i),\IQ(\sqrt{7}) [/mm] und L.
> Nun, dass es die richtige Basis ist, ist mir schon bekannt,
> ich verstehe nur nicht, warum die 1 auch in der Basis von L
> über [mm]\IQ[/mm] sein muss, man kann je die 1 aus [mm]i^4[/mm] =1
> kostruieren, also liegt die 1 in der Basis bereits??
Nein! 1 müsste ja ein [mm] $\IQ$-LINEARE [/mm] Kombination von i, [mm] \sqrt{7} [/mm] und [mm] i\sqrt{7} [/mm] sein, d.h.
[mm] $1=ai+b\sqrt{7}+ci\sqrt{7}$ [/mm] mit $a,b,c [mm] \in\IQ$. [/mm] Das kann aber nicht sein!
> Wie bestimme ich nun alle Zwischenkörper?
Am geschicktesten wendest Du den Hauptsatz der Galoistheorie an. Die Abbildungen
$$
[mm] \sigma(i)=-i
[/mm]
[mm] \sigma(\sqrt{7})=\sqrt{7}
[/mm]
$$
und
$$
[mm] \tau(i)=i
[/mm]
[mm] \tau(\sqrt{7})=-\sqrt{7}
[/mm]
$$
sind Automorphismen von $L$ über [mm] $\IQ$ [/mm] (Nachrechnen!). Damit ist
$$
[mm] \operatorname{Gal}(L|K)=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}
[/mm]
$$
die Galoisgruppe von $L$ über $K$, denn sie hat die maximale Anahl [mm] $[L:\IQ]=4$ [/mm] Elemente. Diese Gruppe, die isomorph zu [mm] \IZ/2\IZ\times \IZ/2\IZ [/mm] ist, hat die folgenden vier Untergruppen:
[mm] G_1=\{1\}, [/mm]
[mm] G_2=\{1,\sigma\},
[/mm]
[mm] G_3= \{1,\tau\}
[/mm]
und
[mm] G_4=\{1,\sigma,\tau,\sigma\tau\}.
[/mm]
> Nach dem Gradsatz
> gibt es ja 2 Zwischenkörper [mm]M_{1}[/mm] und [mm]M_{2}[/mm] mit [mm]\IQ[/mm] =
> [mm]K\subset M_{1}\subset M_{2}\subset\IQ[/mm] =( i, [mm]\wurzel{7}[/mm] , i*
> [mm]\wurzel{7}[/mm] ).
Die Anwendung des Gradsatzes verstehe ich wieder nicht. Es ist nicht so, dass zwischen zwei Zwischenkörpern [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] irgendeine Inklusionsrelation gelten muß! Der Hauptsatz der Galoistheorie sagt Dir aber nun, dass die Zwischenkörker genau die Fixkörper der Untergruppen der großen Galoisgruppe sind, d.h.
[mm] L_i=L^{G_i}
[/mm]
mit [mm] i\in\{1,2,3,4\} [/mm] sind. Wie Du auf der Basis [mm] 1,i,\sqrt{7},i\sqrt{7} [/mm] leicht nachrechnest gilt
[mm] L_1=L
[/mm]
[mm] L_2=\IQ(\sqrt{7})
[/mm]
[mm] L_3=\IQ(i)
[/mm]
[mm] L_4=\IQ
[/mm]
Aus dem Hauptsatz folgt auch, dass alle [mm] L_i [/mm] galoissch sind mit Galoisgruppen
[mm] \operatorname{Gal}(L:L_i)=G_i. [/mm] Wenn Du den Hauptsatz noch nicht anwenden darfst, läuft die Aufgabe darauf hinaus ihn in diesem Spezielfall zu beweisen.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mi 17.01.2007 | | Autor: | JuliaWi |
Hallo Volker,
danke für Deine Antwort!!
Inszwischen ist mir vieles klar geworden, dass mit der 1 in der Basis, dass ich den Gradsatz falsch interpretiert habe....
Den Hauptsatz der Galoistheorie háben wir erst heute gehabt, brauche noch etwas Zeit um ihn zu verstehen und anwenden zu können.
Wie Du auf die 4 Abbildungen gekommen bist, verstehe ich noch nicht ganz.
danke noch mal..
LG
Julia
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