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| Aufgabe | i) Seien k ein Körper und n [mm] \ge [/mm] 1. Zeigen Sie, dass für den Unterkörper [mm] k(t^{n}) \subseteq [/mm] k(t) des rationalen Funktionenkörpers gilt: [k(t) : [mm] k(t^{n})] [/mm] = n
ii) Seien a [mm] \in [/mm] E algebraisch über k und n [mm] \ge [/mm] 1. Zeigen Sie: [mm] [k(a)^{n} [/mm] : k] [mm] \ge \bruch{1}{n} [/mm] [k(a) : k] |
Hallo,
bei i) muss ich zeigen, dass k(t) als [mm] k(t^{n}) [/mm] Vektorraum die Dimension n hat. Dies würde zum Beispiel gehen, wenn ich eine [mm] k(t^{n}) [/mm] Basis des k(t) bestimmen kann.
Leider weiß ich überhaupt nicht, wie so eine aussehen soll bzw. ob das überhaupt sinnvoll ist.
bei ii) müsste ich nach dem Gradsatz nur eine Abschätzung für [k(a) : [mm] k(a^{n})] [/mm] zeigen. Es wird wohl darauf rauslaufen, dass man Aussagen über den Grad des Minimalpolynoms von a über [mm] k(a)^{n} [/mm] macht.
Allerdings weiß ich auch hier nicht, wie ich das konkret bewerkstelligen soll.
Wäre nett, wenn sich jemand die Zeit nimmt und ein wenig Licht ins Dunkel bringt.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 19.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> i) Seien k ein Körper und n [mm]\ge[/mm] 1. Zeigen Sie, dass für
> den Unterkörper [mm]k(t^{n}) \subseteq[/mm] k(t) des rationalen
> Funktionenkörpers gilt: [k(t) : [mm]k(t^{n})][/mm] = n
>
> ii) Seien a [mm]\in[/mm] E algebraisch über k und n [mm]\ge[/mm] 1. Zeigen
> Sie: [mm][k(a)^{n}[/mm] : k] [mm]\ge \bruch{1}{n}[/mm] [k(a) : k]
> Hallo,
>
> bei i) muss ich zeigen, dass k(t) als [mm]k(t^{n})[/mm] Vektorraum
> die Dimension n hat. Dies würde zum Beispiel gehen, wenn
> ich eine [mm]k(t^{n})[/mm] Basis des k(t) bestimmen kann.
> Leider weiß ich überhaupt nicht, wie so eine aussehen
> soll bzw. ob das überhaupt sinnvoll ist.
Wie waer's mit den Elementen $1, t, [mm] t^2, \dots, t^{n-1}$?
[/mm]
> bei ii) müsste ich nach dem Gradsatz nur eine Abschätzung
> für [k(a) : [mm]k(a^{n})][/mm] zeigen. Es wird wohl darauf
Es geht direkter.
Angenommen, es gilt [mm] $[k(a^n) [/mm] : k] < [mm] \tfrac{1}{n} [/mm] [k(a) : k]$. Nimm dir das Minimalpolynom von [mm] $a^n$ [/mm] ueber $k$. Damit kannst du ein nicht-triviales Polynom von Grad $< [k(a) : k]$ finden mit Koeffizienten in $k$, welches $a$ als Nullstelle hat.
LG Felix
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Felix,
vielen Dank für deine hilfreiche Antwort.
Den Aufgabenteil ii) hab ich jetzt mit deiner Hilfe sehr schön lösen können.
Allerdings hänge ich noch bei i). Ich hab mir das ganze erstmal für den Spezialfall n=3 hingeschrieben, um es besser nachvollziehen zu können.
Leider geht da meine Rechnung nicht auf. Als Basis hätte ich hier ja (1,t,t^{2}). Ich habe dann versucht ein Element von k(t) (dass ja die form f(t)/g(t) hat, mit f,g Polynome) in ner Basisdarstellung mit Koeffizienten aus k(t^{n)) darzustellen. Leider will das nicht gelingen.
Entweder ich überseh hier was wesentliches, oder kann es sein, dass du in der Eile k(t) mit k[t] verwechselt hast?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 So 20.11.2011 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin,
> Allerdings hänge ich noch bei i). Ich hab mir das ganze
> erstmal für den Spezialfall n=3 hingeschrieben, um es
> besser nachvollziehen zu können.
> Leider geht da meine Rechnung nicht auf. Als Basis hätte
> ich hier ja (1,t,t^{2}). Ich habe dann versucht ein Element
> von k(t) (dass ja die form f(t)/g(t) hat, mit f,g Polynome)
> in ner Basisdarstellung mit Koeffizienten aus k(t^{n))
> darzustellen. Leider will das nicht gelingen.
>
> Entweder ich überseh hier was wesentliches, oder kann es
> sein, dass du in der Eile k(t) mit k[t] verwechselt hast?
es gilt sowohl fuer $k[t]$ wie auch fuer $k(t)$. Das kannst du schon daraus sehen, dass $k(t) = [mm] k(t^n)(t)$ [/mm] ist und $f = [mm] X^n [/mm] - [mm] t^n \in [/mm] k(n)[X]$ ein Polynom ist, welches $t$ als Nullstelle hat. Daraus folgt $[k(t) : [mm] k(t^n)] \le [/mm] n$, und dass [mm] $t^0, t^1, \dots, t^{n-1}$ [/mm] zumindest ein Erzeugendensystem der Koerpererweiterung ist.
Versuch doch erstmal einzusehen warum daraus folgt dass es ein EZS ist, und dann versuch zu zeigen dass dieses EZS linear unabhaengig ist.
LG Felix
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Hallo,
ich glaube, ich habe es jetzt so in etwa verstanden.
Werde einfach mal eine Lösung abgeben so wie ich sie für richtig halte.
Vielen Dank für die Hilfe!
Liebe Grüße
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