Körpererweiterung, Char. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper der Charakteristik [mm] $\neq [/mm] 2$.
Jede Körpererweiterung K/F mit Grad 2 wird durch Adjunktion einer Quadratwurzel erhalten. |
Hallo,
d.h. $K = F(d)$ mit [mm] $d^2 \in [/mm] F$ geeignet. Ich wollte eigentlich über das Mipo gehen, aber die Erweiterung muss ja nicht zwangsläufig algebraisch sein.
Der Grad von K/F ist 2, also ist K ein 2-dim F-Vektorraum.
d.h. jedes Element aus K lässt sich schreiben als:
$a+b*d$ mit $a,b [mm] \in [/mm] F$.
Im Quadrat ergibt das: [mm] $a^2+2*a*b*d+b^2*d^2$, [/mm] also müsste [mm] $d^2 [/mm] = d$ also 1 oder 0 (dann aber nicht Grad 2), oder [mm] $d^2 \in [/mm] F$ sein.
Stimmt das so in etwa? Wenn ja: Wo fließt hier die Charakteristik ein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 05.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper der Charakteristik [mm]\neq 2[/mm].
> Jede
> Körpererweiterung K/F mit Grad 2 wird durch Adjunktion
> einer Quadratwurzel erhalten.
>
> d.h. [mm]K = F(d)[/mm] mit [mm]d^2 \in F[/mm] geeignet.
Genau.
> Ich wollte eigentlich
> über das Mipo gehen, aber die Erweiterung muss ja nicht
> zwangsläufig algebraisch sein.
Doch? Jede endliche Erweiterung ist algebraisch!
> Der Grad von K/F ist 2, also ist K ein 2-dim
> F-Vektorraum.
Genau.
> d.h. jedes Element aus K lässt sich schreiben als:
> [mm]a+b*d[/mm] mit [mm]a,b \in F[/mm].
Was ist $d$ bei dir? Wenn du das obige $d$ meinst: das musst du doch erstmal konsturieren! Das hast du noch nicht!
> Im Quadrat ergibt das: [mm]a^2+2*a*b*d+b^2*d^2[/mm], also müsste
> [mm]d^2 = d[/mm] also 1 oder 0 (dann aber nicht Grad 2), oder [mm]d^2 \in F[/mm]
> sein.
?!
> Stimmt das so in etwa?
Nein.
Mal zurueck zur Erweiterung $F / K$. Nimm dir irgendein $x [mm] \in [/mm] F [mm] \setminus [/mm] K$. Dann hast du doch den Koerperturm $K [mm] \subsetneqq [/mm] K(x) [mm] \subseteq [/mm] F$. Kann $K(x) [mm] \subsetneqq [/mm] F$ gelten? (Nein, kann es nicht: damit ist $F = K(x)$.)
Dieses $x$ hat nun ein Minimalpolynom; etwa [mm] $T^2 [/mm] + a T + b$ mit $a, b [mm] \in [/mm] K$. Kannst du $x$ durch $x + c$ mit $c [mm] \in [/mm] K$ ersetzen, so dass $x + c$ ein Minimalpolynom von der Form [mm] $T^2 [/mm] + [mm] \hat{b}$ [/mm] hat mit [mm] $\hat{b} \in [/mm] K$? Und gilt $K(x) = K(x + c)$?
LG Felix
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