Körpererweiterung 2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 16.12.2008 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | | Warum ist [mm] \IQ(\wurzel[3]{2})\not=\{a+b\wurzel[3]{2}: a,b \in\IQ\}? [/mm] |
Hallo alle zusammen,
als Begründung finde ich: "Die Menge [mm] \{a+b\wurzel[3]{2}: a,b \in\IQ\} [/mm] ist kein Körper, da sie zwar [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] enthält, aber nicht das Produkt [mm] \wurzel[3]{2}*\wurzel[3]{2}=\wurzel[3]{4}."
[/mm]
Das verstehe ich z. B. nicht, weil man doch einfach a=0, b=1 setzen kann und man hat dann doch [mm] (0+1*\wurzel[3]{2})*(0+1*\wurzel[3]{2})=(\wurzel[3]{2})^2 [/mm] oder liege ich da falsch?????
Gruß Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
Guten Abend!
> Warum ist [mm]\IQ(\wurzel[3]{2})\not=\{a+b\wurzel[3]{2}: a,b \in\IQ\}?[/mm]
> als Begründung finde ich: "Die Menge [mm]\{a+b\wurzel[3]{2}: a,b \in\IQ\}[/mm]
> ist kein Körper, da sie zwar [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] enthält, aber
> nicht das Produkt
> [mm]\wurzel[3]{2}*\wurzel[3]{2}=\wurzel[3]{4}."[/mm]
> Das verstehe ich z. B. nicht, weil man doch einfach a=0,
> b=1 setzen kann und man hat dann doch
> [mm](0+1*\wurzel[3]{2})*(0+1*\wurzel[3]{2})=(\wurzel[3]{2})^2[/mm]
> oder liege ich da falsch?????
Völlig! Du kannst doch in der Menge nicht einfach herummultiplizieren.
Gruß
Dieter
>
> Gruß Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Di 16.12.2008 | | Autor: | Docy |
Ja richtig, Denkfehler! Ich denke jetzt, dass man [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] nicht als [mm] a+b*\wurzel[3]{2} [/mm] schreiben kann, denn sonst müsste [mm] b=\wurzel[3]{2} [/mm] sein, was ja nicht geht.
Gruß Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Mi 17.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ja richtig, Denkfehler! Ich denke jetzt, dass man
> [mm]\wurzel[3]{4}[/mm] nicht als [mm]a+b*\wurzel[3]{2}[/mm] schreiben kann,
> denn sonst müsste [mm]b=\wurzel[3]{2}[/mm] sein, was ja nicht
> geht.
So wirklich stringent ist die Argumentation nicht. Besser: Das Minimalpol. von [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ist [mm] X^3 [/mm] - 2, das ist irreduzibel nach Eisenstein-Kr., und folglich sind [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{4} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] linear unabhängig.
Gruß
Dieter
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