Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:56 Do 21.03.2013 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei K(x) der Körper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in K.
Sei
[mm] $f=\bruch{x^{3}}{x^{2}+1}\in [/mm] K(x)$
(1) Zeigen Sie: Die Körpererweiterung [mm] $K(f)\subset [/mm] K(x)$ ist algebraisch
(2) Berechnen Sie den Grad der Körpererweiterung aus (1) |
Hallo Zusammen,
ich habe in der oben stehenden Aufgabe folgendes Problem:
Ich weiß:
Ein Element a aus dem Erweitungskörper heißt algebraisch, wenn ein Polynom aus dem Polynomring des kleineren Körpers existiert, für das a Nullstelle ist.
und eine Körpererweiterung heißt algebraisch wenn das für alle Elemente aus L der Fall ist.
Mein Problem ist, dass ich mir die oben stehende Körpererweiterung nicht vorstellen kann. Ich habe ein Polynom und einen Körper K der die Elemente von K und das POlynom enthält und den Körper der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in K oder was?
Wie kann ich mir das vorstellen?
Oder sollte ich darüber gehen, dass die KE endlich und somit algebraisch ist?
Zu Aufgabenteil (2) ist mir eigentlich klar, dass ich das Minimalpolynom brauche und der Grad vom MP ist gleich dem Grad der KE, eben weil ich ja in (1) zeigen soll, dass diese algebraisch ist.
Bin für jede Hilfe dankbar!
Lg, cmueller
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Hallo,
ein Element von K(f) ist ein Quotient aus zwei Polynomen in f.
K(f) ist nach Def. der kleinste Körper der K und f enthält, dementsprechend auch alle Potenzen und das Inverse von f.
Viel besser kann ich mir das auch nicht vorstellen. Ich kann mir fast alle Objekte der Algebra nicht vorstellen, muss ich auch nicht da die Def. bekannt ist.
Hier ist also ein Polynom [mm] $P\in [/mm] K(f)[t]$ gesucht mit $P(x)=0$.
Da wäre mein erster Gedanke den Nenner von f wegzukriegen, also so dass [mm] $fP(x)=x^3$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 22.03.2013 | | Autor: | cmueller |
Hey, danke für die Antwort, das $K(f)$ ist, ist mir jetzt klar.
Ich suche ein Polynom P, sodass $P(x)=0$ ...
Das heißt, ich suche ein Polynom, dass in K(f) liegt und wenn man x einsetzt null ergibt?
Ein spezielles x hab ich doch hier nicht gegeben oder?
Oder muss es heißen P(t) nach deiner Definition hier?
>
> Hier ist also ein Polynom [mm] P\in [/mm] K(f)[t] gesucht mit P(x)=0 .
> Da wäre mein erster Gedanke den Nenner von f wegzukriegen, also so dass [mm]fP(x)=x^3[/mm]
>
Ich versteh leider nicht, was ich davon habe?
Sorry :/ Kannst du mir das etwas genauer erklären?
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Sei [mm]T[/mm] eine Unbestimmte. Betrachte das Polynom
[mm]p(T) = T^3 - f \cdot T^2 - f \ \in \ K(f)[T][/mm]
Es ist sogar ein Polynom über dem Ring [mm]K[f][/mm]. Zeige, daß das über [mm]K[/mm] transzendente Element [mm]x[/mm] eine Nullstelle von [mm]p(T)[/mm] ist.
Und wie kommt man auf [mm]p(T)[/mm]? Einfach in der Definition von [mm]f[/mm] den Nenner beseitigen.
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