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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:16 Di 20.05.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
Die Menge [mm] \IK [/mm] = { [mm] a+b\wurzel{3} [/mm] ; a, b [mm] \in \IQ [/mm] }, versehen mit der Addition und Multiplikation aus [mm] \IR, [/mm] ist ein Körper. |
So habe das mal versucht zu lösen und bitte um Korrektur, falls ich mich an gewissen Stellen geirrt habe.
Sei: [mm] x=a+b\wurzel{3} [/mm] , [mm] y=c+d\wurzel{3} [/mm] , [mm] z=e+f\wurzel{3}
[/mm]
Eigenschaften der Addition:
Kommutativität: für alle reele Zahlen x, y gilt: x+y=y+x
Also: [mm] a+b\wurzel{3} [/mm] + [mm] c+d\wuzel{3} [/mm] = [mm] c+d\wurzel{3} [/mm] + [mm] a+b\wurzel{3}
[/mm]
Da in [mm] \IR [/mm] schon kommutativ.
Assoziativität: für alle reele Zahlen x, y, z gilt: x+(y+z)=(x+y)+z
Also: [mm] a+b\wurzel{3} [/mm] + [mm] (c+d\wurzel{3} [/mm] + [mm] e+f\wurzel{3})=a+b\wurzel{3} [/mm] + [mm] c+d\wurzel{3} [/mm] + [mm] e+f\wurzel{3}=(a+b\wurzel{3} [/mm] + [mm] c+d\wurzel{3}) [/mm] + [mm] e+f\wurzel{3}
[/mm]
Da in [mm] \IK [/mm] die Kommutativität gilt (siehe oben).
Existenz der Null: Es gibt eine reele Zahl 0 [mm] \in \IR [/mm] für die gilt: x+0=x
Also: [mm] a+b\wurzel{3} [/mm] + [mm] 0=a+b\wurzel{3} [/mm]
Existenz des Negativen: Für jede Zahl x gibt es mindestens eine Zahl -x für die gilt: x+(-x)=0
Also: [mm] a+b\wurzel{3} [/mm] + [mm] (-(a+b\wurzel{3}))=a+b\wurzel{3} [/mm] - [mm] a-b\wurzel{3}=0
[/mm]
Eigenschaften der Multiplikation:
Kommutativität: für alle reelen Zahlen x, y gilt: x*y=y*x
Also: [mm] (a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3})= ac+ad\wurzel{3}+cb\wurzel{3}+d\wurzel{3}b\wurzel{3}= (c+d\wurzel{3})*a [/mm] + [mm] (c+d\wurzel{3})*b\wurzel{3}= (c+d\wurzel{3})*(a+b\wurzel{3})
[/mm]
Assoziativität: für alle reelen Zahlen x, y, z gilt: x*(y*z)=(x*y)*z
Also: [mm] (a+b\wurzel{3})*((c+d\wurzel{3})*(e+f\wurzel{3}))=(a+b\wurzel{3})*(ce+cf\wurzel{3}+ed\wurzel{3}+d\wurzel{3}f\wurzel{3})=(ace+acf\wurzel{3}+aed\wurzel{3}+ad\wurzel{3}f\wurzel{3}+ceb\wurzel{3}+cf\wurzel{3}b\wurzel{3}+ed\wurzel{3}b\wurzel{3}+d\wurzel{3}f\wurzel{3}b\wurzel{3}=(ac+ad\wurzel{3}+cb\wurzel{3}+d\wurzel{3}b\wurzel{3})*e [/mm] + [mm] (ac+ad\wurzel{3}+cb\wurzel{3}+d\wurzel{3}b\wurzel{3})*f\wurzel{3}=((c+d\wurzel{3})*a+(c+d\wurzel{3})*b\wurzel{3})*e [/mm] + [mm] ((a+b\wurzel{3})*c+(a+b\wurzel{3})*d\wurzel{3})*f\wurzel{3}=((c+d\wurzel{3})*(a+b\wurzel{3}))*e [/mm] + [mm] ((c+d\wurzel{3})*(a+b\wurzel{3}))*f\wurzel{3}=((a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3}))*(e+f\wurzel{3}) [/mm]
Existenz der Eins: es gibt mindestens eine Zahl 1 [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] 1\not=0 [/mm] für die gilt: x*1=x
[mm] (a+b\wurzel{3})*1=a+b\wurzel{3}
[/mm]
Existenz des Inversen: für jede reele Zahl [mm] x\not=0 [/mm] gibt es mindestens eine reele Zahl x^(-1) für die gilt: x*x^(-1)=1
Also: [mm] 8a+b\wurzel{3})*(a+b\wurzel{3})^{-1}=\bruch{a+b\wurzel{3}}{a+b\wurzel{3}}=1
[/mm]
Distributivgesetz: für alle reelen Zahlen x, y, z gilt: x*(y+z)=x*y + x*z
Also: [mm] (a+b\wurzel{3})*((c+d\wurzel{3}) [/mm] + [mm] (e+f\wurzel{3}))=(a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3}+e+f\wurzel{3})=ac+ad\wurzel{3}+ae+af\wurzel{3}+cb\wurzel{3}+b\wurzel{3}d\wurzel{3}+eb\wurzel{3}+b\wurzel{3}f\wurzel{3}=(a+b\wurzel{3})*c [/mm] + [mm] (a+b\wurzel{3})*d\wurzel{3} [/mm] + [mm] (a+b\wurzel{3})*e [/mm] + [mm] (a+b\wurzel{3})*f=(a+b\wurzel{3})*(c+d\wurzel{3}) [/mm] + [mm] (a+b\wurzel{3})*(e+f\wurzel{3})
[/mm]
So müsste doch alles stimmen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 20.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Da stimmt einer Menge nicht. Du kannst nicht so einfach mit den Körperaxiomen aus R argumentiere. Da fehlt nur ein bisschen, denn Du musst auch noch zeigen, dass im ergebnis z.B. e und f wieder aus Q sind. Besonders bei der Existenz des multiplikativen Inversen fällt auf, dass Du das Inverse gar nicht in der notwendigen Form zeigst. Du musst zeigen, dass es e und f aus Q gibt, so dass [mm] $(a+b\wurzel{3})^{-1} [/mm] = [mm] e+f\wurzel{3}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 20.05.2014 | | Autor: | Qight |
Hm, dass verstehe ich nicht ganz, denn ich soll mich doch aufgrund der Aufgabenstellung auf die Addition und Multiplikation aus [mm] \IR [/mm] beziehen.
Zu dem Inversen Element: Deinen Hinweis verstehe ich nicht wirklich. Wieso muss ich zeigen, dass [mm] (a+b\wurzel{3})^{-1}=e+f\wurzel{3} [/mm] ist. Das Inverse Element ist doch so definiert, dass in [mm] \IR [/mm] gelten muss x*x^(-1)=1.
Mit [mm] (a+b\wurzel{3})^{-1 }=e+f\wurzel{3} [/mm] zeige ich doch eigentlich nur, dass es irgend ein Element in [mm] \IQ [/mm] darstellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 21.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
di musst doch zeigen, dass das Inverse Element des Körpers ist, ware das Inverse etwa [mm] e+f*\sqrt{2} [/mm] läge es nicht im Körper, also musst du ein e und f angeben!
(sonst könntest du ja zeigen, dass die ganzen Zahlen einen K bilden.) einfach [mm] g*g^{-1}=1
[/mm]
auch bei der Existenz der 1 etwa solltest du sagen mit a=1, b=0 ist 1 in dem Körper. usw.
Gruß leduart
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