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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 16.09.2014 | | Autor: | soulflow |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die identische Abbildung [mm]id: \IQ \to \IQ[/mm] der einzige Körperautomorphismus des Körpers [mm]\IQ[/mm] ist.
Sie können folgende Aussagen verwenden:
[mm] \phi [/mm] ist injektiv
[mm] \phi : (\IQ, +) \to (\IQ, +)[/mm], [mm] \phi : (\IQ - {0}, *) \to (\IQ - {0}, *)[/mm] sind Gruppenhomomorphismen
und [mm]\phi(0) = 0 ; \phi(1) = 1[/mm]
Was ist [mm]\phi(n)[/mm] für [mm] n \in \IZ[/mm]. Was ist [mm]\phi(a/b)[/mm] für [mm]a/b \in \IQ[/mm]
Der Körper [mm]\IQ[\wurzel{2}][/mm] hat neben id einen weiteren Körperautomorphismus. Erraten und geben Sie ihn an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo matheraum,
ich brauch nochmal eure Hilfe. Ich habe mir zu oben genannter Aufgabe schon gedanken gemacht.
Da ich bereits annehmen kann dass es sich bei [mm] \phi : (\IQ, +) \to (\IQ, +)[/mm], [mm] \phi : (\IQ - {0}, *) \to (\IQ - {0}, *)[/mm] um Gruppenhomomorphismus handelt, hätte ich jetzt einfach bewiesen, dass
[mm]\phi[/mm] alle Elemente in [mm]\IQ[/mm] festhält. Da [mm] \IN \subset \IZ \subset \IQ [/mm] und [mm]\phi(0) = 0 ; \phi(1) = 1[/mm] ist:
[mm] \phi(2) = \phi(1+1) = \phi(1) + \phi(1) = 1 + 1 = 2[/mm]
...
[mm] \phi(n+1) = \phi(n) + \phi(1) = n + 1[/mm]
Also [mm]\phi(n) = n[/mm] für alle n aus [mm]\IN[/mm]
Das gleiche jetzt für [mm]\IZ[/mm]:
Da für z > 0 aus [mm]\IZ[/mm] schon bewiesen und -z < 0:
[mm] \phi(z) = z = -(-z) = - \phi(-z)[/mm], also auch[mm] \phi(z) = z[/mm] für alle z aus Z.
Zuletzt für [mm]\IQ[/mm]:
[mm] b * \phi(1(a/b)) = \phi(b) * \phi(a/b) = \phi(b* a/b) = \phi(a) = a[/mm]
Also ist [mm]\phi(a/b) = a/b[/mm]für alle [mm]a/b \in \IQ[/mm]
Damit hätte ich doch bewiesen, dass [mm]\phi[/mm] alle Elemente festhält und somit nur die identische Abbildung ein Körperautomorphismus ist.
"Was ist [mm]\phi(n)[/mm] für [mm] n \in \IZ[/mm]. Was ist [mm]\phi(a/b)[/mm] für [mm]a/b \in \IQ[/mm]" hätte ich damit ja eigentlich auch gezeigt?
Zum zweiten Teil der Aufgabe: Wie soll man das durch raten herausfinden? Gibt es da einen Trick oder kann mir jemand einen Denkanstoß geben?
LG
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Den ersten Teil der Aufgabe hast du richtig gelöst. Mir ist indessen nicht ganz klar, was der Aufgabensteller mit "Sie dürfen annehmen..." meint. Denn die Strukturverträglichkeit bezüglich Verknüpfungen und Konstanten ist ja Definition eines Körperhomomorphismus. Des weiteren ist jeder Körperhomomorphismus imjektiv, du hast also allgemeiner gezeigt, dass die Identität der einzige Homomorphismus [mm] $\IQ\longrightarrow\IQ [/mm] $ ist. Noch etwas allgemeiner kann man zeigen, dass [mm] $\IQ [/mm] $ der initiale Körper der Charakteristik $ 0 $ ist, das heißt für $ K $ mit Charakteristik 0 gibt es genau einen Homomorphismus [mm] $\IQ\longrightarrow [/mm] K $. Verwendet man die richtige Definition der Charakteristik, so ist dies gerade die Definition von Charakteristik 0.
Mit einem Argument ähnlich wie für den ersten Teil kannst du dir überlegen, dass ein Homomorphismus [mm] \IQ [\sqrt {2}]\longrightarrow\IQ [\sqrt [/mm] {2}] $ die rationalen Zahlen fest lassen muss (etwa weil dieser Körper Charakteristik Null hat muss jede Komposition [mm] $\IQ\longrightarrow\IQ [\sqrt {2}]\longrightarrow\IQ [\sqrt [/mm] {2}] $ mit der Einbettung der rationalen Zahlen übereinstimmen). Wenn du bereits weißt, dass [mm] $\IQ [\sqrt [/mm] {2}] $ die Menge [mm] $\{ a+b\sqrt {2}\mid a, b\in\IQ\} [/mm] $ besitzt, musst du dich nur fragen, was mit [mm] $\sqrt [/mm] {2} $ passiert und ein Homomorphismus ist eindeutig bestimmt. Welche Kandidaten gäbe es denn da?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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