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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | Sei [mm]f\in k[X][/mm] ein irreduzibles Polynom. K/k eine Körpererweiterung und [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von f. Sei [mm]g\in k(\alpha)[X][/mm] das Polynom [mm]g=\frac{f}{X-\alpha}[/mm].
Gib ein Beispiel an mit grad(g)>=2 und
a) g reduzibel
b) g irreduzibel |
Ich probiere es mal konkret mit [mm]k=\IQ,K=\IQ(\sqrt{3})[/mm]. Damit wäre
[mm]g=\frac{f}{x-\sqrt{3}}[/mm]
Also [mm]f=g*(X-\sqrt{3})[/mm]
Setze ich f [mm] =ax^3+bx^2+cx+d, [/mm] dann erhalte ich doch. Jetzt soll ich die Parameter a,b,c,d doch so wählen, dass alles passt. Also f nur Koeffs aus [mm] $\IQ$ [/mm] hat. Kann mich bitte einer in die richtige Richtung stoßen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f\in k[X][/mm] ein irreduzibles Polynom. K/k eine
> Körpererweiterung und [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von f. Sei
> [mm]g\in k(\alpha)[X][/mm] das Polynom [mm]g=\frac{f}{X-\alpha}[/mm].
> Gib ein Beispiel an mit grad(g)>=2 und
> a) g reduzibel
> b) g irreduzibel
>
> Ich probiere es mal konkret mit [mm]k=\IQ,K=\IQ(\sqrt{3})[/mm].
> Damit wäre
> [mm]g=\frac{f}{x-\sqrt{3}}[/mm]
> Also [mm]f=g*(X-\sqrt{3})[/mm]
> Setze ich f [mm]=ax^3+bx^2+cx+d,[/mm] dann erhalte ich doch. Jetzt
> soll ich die Parameter a,b,c,d doch so wählen, dass alles
> passt. Also f nur Koeffs aus [mm]\IQ[/mm] hat. Kann mich bitte einer
> in die richtige Richtung stoßen.
Nun, dein Polynom $f$ kann nicht irreduzibel sein, da das Minimalpolynom von [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] den Grad 2 hat und somit ein echter Teiler von $f$ ist.
Beispiele, bei denen $g$ nicht zerfaellt, hattest du schon in einer der Aufgaben aus einem anderen Thread.
Und fuer Beispiele, bei denen $g$ zerfaellt, nimm doch etwa eine dritte Einheitswurzel oder sowas.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
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> > Sei [mm]f\in k[X][/mm] ein irreduzibles Polynom. K/k eine
> > Körpererweiterung und [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von f. Sei
> > [mm]g\in k(\alpha)[X][/mm] das Polynom [mm]g=\frac{f}{X-\alpha}[/mm].
> > Gib ein Beispiel an mit grad(g)>=2 und
> > a) g reduzibel
> > b) g irreduzibel
> >
> > Ich probiere es mal konkret mit [mm]k=\IQ,K=\IQ(\sqrt{3})[/mm].
> > Damit wäre
> > [mm]g=\frac{f}{x-\sqrt{3}}[/mm]
> > Also [mm]f=g*(X-\sqrt{3})[/mm]
> > Setze ich f [mm]=ax^3+bx^2+cx+d,[/mm] dann erhalte ich doch.
> Jetzt
> > soll ich die Parameter a,b,c,d doch so wählen, dass alles
> > passt. Also f nur Koeffs aus [mm]\IQ[/mm] hat. Kann mich bitte einer
> > in die richtige Richtung stoßen.
>
> Nun, dein Polynom [mm]f[/mm] kann nicht irreduzibel sein, da das
> Minimalpolynom von [mm]\sqrt{3}[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] den Grad 2 hat und
> somit ein echter Teiler von [mm]f[/mm] ist.
>
> Beispiele, bei denen [mm]g[/mm] nicht zerfaellt, hattest du schon in
> einer der Aufgaben aus einem anderen Thread.
Da nehme ich für [mm]f=x^3-7 \in \IQ[X][/mm] irreduzibel (grad=3 und keine Nst)
Jetzt muss ich polynom division machen
[mm]g=\frac{x^3-7}{x-\sqrt[3]{7}}[/mm]
da hätte ich [mm] $g=x^2+\sqrt[3]{7}x-(\sqrt[3]{7})^2$ [/mm] nach Polynomdivision. Das wäre für mich aber ganz schlecht, da auf einmal g reduzibel ist ich aber irreduzibilität bruache.
>
> Und fuer Beispiele, bei denen [mm]g[/mm] zerfaellt, nimm doch etwa
> eine dritte Einheitswurzel oder sowas.
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei [mm]f\in k[X][/mm] ein irreduzibles Polynom. K/k eine
> > > Körpererweiterung und [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von f. Sei
> > > [mm]g\in k(\alpha)[X][/mm] das Polynom [mm]g=\frac{f}{X-\alpha}[/mm].
> > > Gib ein Beispiel an mit grad(g)>=2 und
> > > a) g reduzibel
> > > b) g irreduzibel
> > >
> > > Ich probiere es mal konkret mit [mm]k=\IQ,K=\IQ(\sqrt{3})[/mm].
> > > Damit wäre
> > > [mm]g=\frac{f}{x-\sqrt{3}}[/mm]
> > > Also [mm]f=g*(X-\sqrt{3})[/mm]
> > > Setze ich f [mm]=ax^3+bx^2+cx+d,[/mm] dann erhalte ich doch.
> > Jetzt
> > > soll ich die Parameter a,b,c,d doch so wählen, dass alles
> > > passt. Also f nur Koeffs aus [mm]\IQ[/mm] hat. Kann mich bitte einer
> > > in die richtige Richtung stoßen.
> >
> > Nun, dein Polynom [mm]f[/mm] kann nicht irreduzibel sein, da das
> > Minimalpolynom von [mm]\sqrt{3}[/mm] ueber [mm]\IQ[/mm] den Grad 2 hat und
> > somit ein echter Teiler von [mm]f[/mm] ist.
> >
> > Beispiele, bei denen [mm]g[/mm] nicht zerfaellt, hattest du schon in
> > einer der Aufgaben aus einem anderen Thread.
>
> Da nehme ich für [mm]f=x^3-7 \in \IQ[X][/mm] irreduzibel (grad=3
> und keine Nst)
> Jetzt muss ich polynom division machen
> [mm]g=\frac{x^3-7}{x-\sqrt[3]{7}}[/mm]
> da hätte ich [mm]g=x^2+\sqrt[3]{7}x-(\sqrt[3]{7})^2[/mm] nach
> Polynomdivision. Das wäre für mich aber ganz schlecht, da
> auf einmal g reduzibel ist ich aber irreduzibilität
> bruache.
Hier ist $g$ irreduzibel. Davon brauchst du auch ein Beispiel.
Fuer ein Beispiel, bei dem $g$ reduzibel ist, schau hier:
> > Und fuer Beispiele, bei denen [mm]g[/mm] zerfaellt, nimm doch etwa
> > eine dritte Einheitswurzel oder sowas.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
Als dritte Einheitswurzel hätte ich ja:
[mm]f=x^3+1[/mm] und somit Nullstellen [mm]\{-1,0.5+0.5i\sqrt{3},0.5-0.5i\sqrt{3}\}[/mm] Und dann nehme ich für [mm]g=\frac{x^3+1}{x-(0.5+0.5i\sqrt{3})}[/mm].
Also ist [mm] $g={x}^{2}+1/2\,ix\sqrt {3}+1/2\,x+1/2\,i\sqrt [/mm] {3}-1$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Als dritte Einheitswurzel hätte ich ja:
Sorry, ich war vorhin etwas durcheinander. Dritte Einheitswurzeln funktionieren nicht. Nimm lieber eine primitive 5. Einheitswurzel oder sowas.
> [mm]f=x^3+1[/mm] und somit Nullstellen
Du meinst eher [mm] $x^3 [/mm] - 1$. (Und das ist wieder nicht irreduzibel, der Teiler [mm] $x^2 [/mm] + x + 1$ jedoch schon -- womit wir wieder nur etwas von Grad 2 haben... deswegen siehe oben!)
> [mm]\{-1,0.5+0.5i\sqrt{3},0.5-0.5i\sqrt{3}\}[/mm] Und dann nehme ich
> für [mm]g=\frac{x^3+1}{x-(0.5+0.5i\sqrt{3})}[/mm].
Schreib lieber [mm] $\zeta [/mm] = [mm] \exp(\frac{2 \pi i}{3})$; [/mm] dann hast du [mm] $\{ \zeta^0, \zeta^1, \zeta^2 \}$, [/mm] bzw. [mm] $\zeta, \zeta^2$ [/mm] wenn es nur um die primitiven dritten Einheitswurzeln geht. Und $(x - 1) (x - [mm] \zeta) [/mm] (x- [mm] \zeta^2) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] - 1$ und $(x - [mm] \zeta) [/mm] (x - [mm] \zeta^2) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$.
LG Felix
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