Körper und Rang von Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 15.01.2006 | | Autor: | Kiki3000 |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper. Gegeben sei eine m x n-Matrix A: [mm] K^{n} \to K^{m}, [/mm] sowie eine l x m- Matrix B: [mm] K^{m} \to K^{l}. [/mm] Man zeige:
rg(A) + rg(B) - m [mm] \le [/mm] rg(BA). |
Hallihallo! hab mal wieder eine frage ;)
Bei dieser Aufgabe hab ich irgendwie gar keine ahnung, wo ich anfangen soll. prinzipiell hört sich das nicht so schwer an, aber ich komm nicht weiter. Könnt ihr mir bitte helfen??
Vielen Dank schonmal
Eure verzweifelte Kiki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Mo 16.01.2006 | | Autor: | slash |
Also:
Der Rang von A ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren bzw. die Maximalzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren und es gilt:
rang(spaltenvektoren) = rang(zeilenvektoren)
Daher ist rg(A) maximal m und rg(B) maximal l.
Der Rang des Produktes der beiden Matrizen, dass die Form n x l besitzt, ist daher ebenfalls maximal l.
Damit ergibt sich:
rg(A) + r(B) - m [mm] \le [/mm] rg(AB)
m + l - m [mm] \le [/mm] l
Ich hoffe, ich konnte Dir damit helfen.
Wenn nicht, frag einfach.
slash
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