Körper mit 4 Elementen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Mi 02.06.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo wiedermal, ich habe eine Lösung und hoffe es stimmt.
Bitte mal drüberschauen - danke.
Aufgabe LA1.6.3
Gegeben: K Körber mit #K = 4
Fragen:
a) Anzahl der 1-dimensionalen Unterräume von [mm] $K^2$ [/mm] ?
b) Anzahl der Basen [mm] $K^2$ [/mm] ?
Ansatz zu a)
{k1,k2,k3,k4} = K
Die Anzahl möglicher Tupel (Permutationen) aus K ist dann 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Wir hätten also 24 mögliche Vektoren für einen VRaum [mm] $K^4$.
[/mm]
Aber so richtig hilft mir das noch nicht weiter.
Könnte ich bitte einen Tipp haben ?
Vielleiht auch gleich für die b)
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Gegeben: K Körber mit #K = 4
>
> Fragen:
> a) Anzahl der 1-dimensionalen Unterräume von [mm] $K^2$ [/mm] ?
> b) Anzahl der Basen [mm] $K^2$ [/mm] ?
>
> Ansatz zu a)
> {k1,k2,k3,k4} = K
> Die Anzahl möglicher Tupel (Permutationen) aus K ist dann
> 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Das sehe ich ein bisschen anders.
Ein Vektor aus [mm] $\IK^2$ [/mm] hat doch diese Darstellung: [mm] $v=\vektor{a,b}$, [/mm] mit [mm] $a,b\in\IK$.
[/mm]
Wie haben also $4*4=16$ verschiedene Vektoren.
> Wir hätten also 24 mögliche Vektoren für einen VRaum
> [mm] $K^4$.
[/mm]
Wie kommst du nun auf [mm] $\IK^4$? [/mm] (Aber auch dafür stimmt deine Rechnung nicht, im [mm] $\IK^4$ [/mm] gibt es [mm] $4^4$ [/mm] verschiedene Vektoren.)
Im [mm] $\IK^2$ [/mm] haben wir also 16 verschiedene Vektoren. Die Frage ist nun, welche von den 15 vom Nullvektor verschiedenen Vektoren linear abhängig sind (also ein [mm] \IK-Vielfaches [/mm] des anderen sind).
Das hängt (auch (oder vielleicht auch nicht, das müßtest du zeigen...)) vom zugrundeliegenden Körper ab:
Ich schreibe die Körperelemente der Einfachheit halber mal so: K={0,1,x,y}. Mit 0 und 1 sind naheliegenderweise die neutralen Elemente der ersten bzw. zweiten Verknüpfung gemeint.
Zum Beispiel sind die Vektoren [mm] \vektor{1\\1} [/mm] und [mm] \vektor{x\\x} [/mm] in jedem Fall linear abhängig, denn:
[mm] $x*\vektor{1\\1}=\vektor{x\\x}$
[/mm]
Ich hoffe, die Problematik ist klar geworden und meine Kommentare helfen dir schon weiter...
> Aber so richtig hilft mir das noch nicht weiter.
>
> Könnte ich bitte einen Tipp haben ?
> Vielleiht auch gleich für die b)
Na gut 
Ich sage dazu nur: Die Basis besteht in jedem Fall aus zwei linear unabhängigen Vektoren, und jetzt schaue dir an, was wir gerade unter a) untersucht haben...
Viel Spaß,
Marc
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http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=21341