Körper mit 4 Elementen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:48 Mo 02.11.2009 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | | Konstruieren Sie einen Körper mit genau 4 Elementen. |
[mm] \IZ_4 [/mm] = {0,1,2,3} kommt nicht in Frage, da [2] und [3] keine mult. Inv. besitzen. Ich versuche es daher mit [mm] \IZ_2\times\IZ_2 [/mm] = [mm] \{0,1\}\times\{0,1\}. [/mm] Die vier Elemente sind dann ([0],[0]),([1],[1]),([1],[0]) und ([0],[1]), richtig?
Meine Frage ist nun: wie sieht die Addition und Multiplikation dieser Elemente aus? Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 02.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Konstruieren Sie einen Körper mit genau 4 Elementen.
> [mm]\IZ_4[/mm] = {0,1,2,3} kommt nicht in Frage, da [2] und [3]
> keine mult. Inv. besitzen. Ich versuche es daher mit
> [mm]\IZ_2\times\IZ_2[/mm] = [mm]\{0,1\}\times\{0,1\}.[/mm] Die vier Elemente
> sind dann ([0],[0]),([1],[1]),([1],[0]) und ([0],[1]),
> richtig?
> Meine Frage ist nun: wie sieht die Addition und
> Multiplikation dieser Elemente aus? Würde mich freuen,
> wenn mir jemand helfen könnte.
Da würde man komponentenweise rechnen, und dann funktioniert das mit dem Körper auch nicht.
Wenn du das mit deinen Kenntnissen der Körpertheorie nicht herleiten kannst, dann versuch mal einen Probier-Ansatz: Die 0 ist die 0 und die 1 die 1 (klar, die braucht man in jedem Körper), und dann gibt es noch 2 andere Elemente x und y. Wie werden die addiert und multipliziert? Das ist wie Sudoku.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Mo 02.11.2009 | | Autor: | MosDef |
>
> Wenn du das mit deinen Kenntnissen der Körpertheorie nicht
> herleiten kannst, dann versuch mal einen Probier-Ansatz:
> Die 0 ist die 0 und die 1 die 1 (klar, die braucht man in
> jedem Körper), und dann gibt es noch 2 andere Elemente x
> und y. Wie werden die addiert und multipliziert? Das ist
> wie Sudoku.
>
Ich verstehe nicht so recht was du meinst...
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 02.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Idee ist die vier Elemente einfach mit Namen zu belegen, statt a,b,c,d c schon 0 und d 1 nennen. Dann einfach die Additions und Multipltafel erstellen.
klar ist schon mal etwa dass gelten muss a*b=1 sonst haettest du ja kein Inverses.
Also los: du hast 3 Versuche frei die Additionstabelle hinzukriegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 02.11.2009 | | Autor: | MosDef |
+ 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a
* 0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a 0 a b 1
b 0 b 1 a
Etwa so?
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> + 0 1 a b
>
> 0 0 0 0 0
> 1 0 1 a b
> a 0 a b 1
> b 0 b 1 a
>
>
> * 0 1 a b
>
> 0 0 0 0 0
> 1 0 1 a b
> a 0 a b 1
> b 0 b 1 a
>
>
> Etwa so?
Die Multiplikationstabelle ist richtig. Für
die Addition hast du aber die gleiche
Tabelle angegeben, was nicht sein kann.
Es müsste z.B. $\ 0+x=x+0=x$ gelten für alle x.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Di 03.11.2009 | | Autor: | MosDef |
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0
So oder? Mir ist beim letzten Eintrag wohl ein Fehler beim Kopieren unterlaufen...
Was mir noch nicht so ganz klar ist: muss ich für a und b keine expliziten Werte angeben, mit denen ich die Tabellen auch "berechnen" kann?
Grüße
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> + 0 1 a b
>
> 0 0 1 a b
>
> 1 1 0 b a
>
> a a b 0 1
>
> b b a 1 0
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") korrekt
> So oder? Mir ist beim letzten Eintrag wohl ein Fehler beim
> Kopieren unterlaufen...
>
> Was mir noch nicht so ganz klar ist: muss ich für a und b
> keine expliziten Werte angeben, mit denen ich die Tabellen
> auch "berechnen" kann?
Nein. Dies wäre allenfalls dann sinnvoll, wenn sich
dieser Körper in einer mit den Operationen ver-
träglichen Weise in einen Körper aus "gewöhnlichen"
Zahlen einbetten liesse.
Die Stärke der Körpertheorie liegt eben genau darin,
dass sie in der Lage ist, Objekte und Strukturen zu
beschreiben, die nicht unbedingt "Zahlen" im vertrauten
Sinn sein müssen.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 23.11.2009 | | Autor: | chrizzly |
Unter diesen umständen muss doch a das additive inverse zu sich selbst sein, genauso wie b.
oder seh ich das falsch?
das multiplikative inverse von a ist demnach b und umgekehrt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 23.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Unter diesen umständen muss doch a das additive inverse zu
> sich selbst sein, genauso wie b.
>
> oder seh ich das falsch?
>
> das multiplikative inverse von a ist demnach b und
> umgekehrt
Erstens siehst du das völlig richtig, und zweitens macht man hier nix falsch, wenn man seine Beiträge - auch kurze - mit Anrede und Grußformel versieht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Konstruieren Sie einen Körper mit genau 4 Elementen.
> [mm]\IZ_4[/mm] = {0,1,2,3} kommt nicht in Frage, da [2] und [3]
> keine mult. Inv. besitzen.
Hallo,
ich würde es so versuchen: Da es eine Null und
eine Eins geben muss, würde ich die Elemente
mit 0,1,a,b bezeichnen. Die Multiplikations-
tabelle ist dann durch die Körperaxiome so weit
festgelegt, dass man sie auf eindeutige Weise
fertigstellen kann. Dann bleibt noch die Aufgabe,
eine passende Additionstafel aufzustellen. Auch
diese ist aber schon zum Teil festgelegt, so dass
gar nicht viele Möglichkeiten übrig bleiben.
Natürlich muss man dann insbesondere noch
das Distributivgesetz überprüfen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 02.11.2009 | | Autor: | MosDef |
>
> ich würde es so versuchen: Da es eine Null und
> eine Eins geben muss, würde ich die Elemente
> mit 0,1,a,b bezeichnen. Die Multiplikations-
> tabelle ist dann durch die Körperaxiome so weit
> festgelegt, dass man sie auf eindeutige Weise
> fertigstellen kann. Dann bleibt noch die Aufgabe,
> eine passende Additionstafel aufzustellen. Auch
> diese ist aber schon zum Teil festgelegt, so dass
> gar nicht viele Möglichkeiten übrig bleiben.
> Natürlich muss man dann insbesondere noch
> das Distributivgesetz überprüfen.
>
Aber was ist a und b, und vor allem: was ist ab bzw. [mm] a^2. [/mm] Soll ich einfach selbst festlegen, dass da 1 bzw. b rauskommt, oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 02.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn du damit hinkommst.
Gruss leduart
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> >
> > ich würde es so versuchen: Da es eine Null und
> > eine Eins geben muss, würde ich die Elemente
> > mit 0,1,a,b bezeichnen. Die Multiplikations-
> > tabelle ist dann durch die Körperaxiome so weit
> > festgelegt, dass man sie auf eindeutige Weise
> > fertigstellen kann. Dann bleibt noch die Aufgabe,
> > eine passende Additionstafel aufzustellen. Auch
> > diese ist aber schon zum Teil festgelegt, so dass
> > gar nicht viele Möglichkeiten übrig bleiben.
> > Natürlich muss man dann insbesondere noch
> > das Distributivgesetz überprüfen.
> >
> Aber was ist a und b, und vor allem: was ist ab bzw. [mm]a^2.[/mm]
> Soll ich einfach selbst festlegen, dass da 1 bzw. b
> rauskommt, oder wie?
Also, durch die Bedingungen $\ 0*x=x*0=0$ und $\ 1*x=x*1=x$
sind ja 12 der 16 Produkte schon festgelegt. Es fehlen
wirklich nur noch die Werte für $\ a*a\ ,\ a*b\ ,\ b*a$ und $\ b*b$.
Aus der Eigenschaft der eindeutigen Division (falls
Divisor [mm] \not=0) [/mm] folgt für die Multiplikationstabelle die
"Sudoku-Eigenschaft", dass z.B. in der Spalte unter
dem Faktor a jedes der 4 Elemente genau einmal auf-
treten muss. Oben stehen 0 und a schon da, bleiben
also noch die 1 und das b. Das b darf aber nicht neben
das b in der vierten Zeile zu stehen kommen, also ist
die Belegung dieser und dann auch der vierten Spalte
eindeutig bestimmt.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 27.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Gratulation an die Software "Matux" ,
dass du nach 3 Jahren gemerkt hast, dass die
Beantwortungsfrist (von 168h , also 1 Woche)
abgelaufen ist ...
LG, Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Al!
Das war / ist aber nicht matux' Schuld, da gestern diese seit langem beantwortete Frage wieder "aktiviert" hatte. Und dadurch kam matux wieder ins Spiel. 
Gruß
Loddar
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