Körper mit 25 Elementen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 10.02.2010 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Geben Sie einen Körper K mit 25 Elementen an und bestimmen Sie ein Element x [mm] \in [/mm] K das die multiplikative [mm] K^{\*} [/mm] erzeugt. |
Also K habe ich herausgefunden.
Nämlich:
K = [mm] \IZ/5\IZ [X]/(X^2+3).
[/mm]
Dies ist ein Köper, da [mm] X^2 [/mm] + 3 irreduzibel in [mm] \IZ/5\IZ[X] [/mm] ist und dieser Körper besteht aus [mm] 5^2 [/mm] Elementen.
Doch für den zweiten Teil der Aufgabe hatte ich Mühe.
[mm] \varphi(25)= [/mm] 20, also existieren 20 Einheiten in diesem Körper. Stimmt das?
Das heisst, dass genau diese 20 Elemente den Körper K erzeugen. Stimmt das auch? Wenn ja, weshalb eigentlich?
Also gibt es nur noch 5 Elemente, welche nicht in Frage kommen.
Ein Element a [mm] \in \IZ/5\IZ [/mm] kommt auch nicht in Frage, da dieses Element kein X erzeugt...?
kann ich dann noch weitere Elemente ausschliessen, wie z.B. x...?
Oder wie kann ich genau vorgehen? Bin mir überhaut nicht sicher hier beim zweiten Teil der Aufgabe...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben Sie einen Körper K mit 25 Elementen an und bestimmen
> Sie ein Element x [mm]\in[/mm] K das die multiplikative [mm]K^{\*}[/mm]
> erzeugt.
>
> Also K habe ich herausgefunden.
> Nämlich:
>
> K = [mm]\IZ/5\IZ [X]/(X^2+3).[/mm]
>
> Dies ist ein Köper, da [mm]X^2[/mm] + 3 irreduzibel in [mm]\IZ/5\IZ[X][/mm]
> ist und dieser Körper besteht aus [mm]5^2[/mm] Elementen.
>
> Doch für den zweiten Teil der Aufgabe hatte ich Mühe.
>
> [mm]\varphi(25)=[/mm] 20, also existieren 20 Einheiten in diesem
> Körper. Stimmt das?
Nein, das ist Quark. Der Ring [mm] $\IZ/25\IZ$ [/mm] hat 20 Einheiten. Ein Koerper mit $n$ Elementen hat immer $n - 1$ Einheiten, da alle Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$ Einheiten sind. Damit hast du 24 Einheiten.
> Das heisst, dass genau diese 20 Elemente den Körper K
> erzeugen. Stimmt das auch? Wenn ja, weshalb eigentlich?
Nein, das stimmt ebenfalls nicht. Auch nicht alle der 24 Einheiten von $K$ erzeugen die multiplikative Gruppe, etwa 1 erzeugt nur die triviale Untergruppe, und jedes Element aus [mm] $(\IZ/5\IZ)^\ast$ [/mm] (was eine Teilmenge von [mm] $K^\ast$ [/mm] ist) erzeugt hoechstens eine Untergruppe der Ordnung 4.
Du weisst jedoch, dass [mm] $K^\ast$ [/mm] zyklisch ist der Ordnung 24, womit es [mm] $\varphi(24) [/mm] = [mm] \varphi(8) \varphi(3) [/mm] = 8$ Erzeuger gibt.
Probier doch mal die Restklassen $x$, $x + 1$, ... Eine davon ist sicher ein Erzeuger.
(Weisst du wie du das probierst, ohne alle Potenzen $x, [mm] x^2, x^3, \dots, x^{24}$ [/mm] in [mm] $K^\ast$ [/mm] zu berechnen?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 10.02.2010 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
also da ist mir noch einiges nicht ganz klar.
> Nein, das ist Quark. Der Ring [mm]\IZ/25\IZ[/mm] hat 20 Einheiten.
> Ein Koerper mit [mm]n[/mm] Elementen hat immer [mm]n - 1[/mm] Einheiten, da
> alle Elemente [mm]\neq 0[/mm] Einheiten sind. Damit hast du 24
> Einheiten.
Also hier bei K kann ich [mm] \varphi [/mm] nicht anwenden...?
Aber bei [mm] K^{\*} [/mm] kann ich [mm] \varphi [/mm] anwenden? Weshalb denn?
Meine Vermutung:
Da [mm] K^{\*} [/mm] zyklisch ist, ist [mm] K^{\*} \cong \IZ/n\IZ. [/mm] Also kann ich [mm] \varphi [/mm] anwenden. Stimmt meine Begründung?
> Du weisst jedoch, dass [mm]K^\ast[/mm] zyklisch ist der Ordnung 24,
> womit es [mm]\varphi(24) = \varphi(8) \varphi(3) = 8[/mm] Erzeuger
> gibt.
>
> Probier doch mal die Restklassen [mm]x[/mm], [mm]x + 1[/mm], ... Eine davon
> ist sicher ein Erzeuger.
>
> (Weisst du wie du das probierst, ohne alle Potenzen [mm]x, x^2, x^3, \dots, x^{24}[/mm]
> in [mm]K^\ast[/mm] zu berechnen?)
Hm, nein, also da wüsste ich nun keinen einfacheren Weg als alle Potenzen durchzurechnen und schauen, ob die 24 Elemente erzeugt werden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mi 10.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also hier bei K kann ich [mm]\varphi[/mm] nicht anwenden...?
Du bist da sehr salopp! Die Anzahl der Einheiten in einer endlichen zyklishcen Gruppe von Ordnung n ist [m]\varphi(n)[/m]!
> Aber bei [mm]K^{\*}[/mm] kann ich [mm]\varphi[/mm] anwenden? Weshalb denn?
Dies ist eine endliche, zyklische Gruppe, deshalb.
> Da [mm]K^{\*}[/mm] zyklisch ist, ist [mm]K^{\*} \cong \IZ/n\IZ.[/mm] Also
> kann ich [mm]\varphi[/mm] anwenden. Stimmt meine Begründung?
Wenn du nicht dieses "anwenden" benutzen würdest. Es hilft dir auch gar nicht - du weißt, wieviele Erezeuger es gibt. Nun, jetzt musst du immer noch einen finden.
> > (Weisst du wie du das probierst, ohne alle Potenzen [mm]x, x^2, x^3, \dots, x^{24}[/mm]
> > in [mm]K^\ast[/mm] zu berechnen?)
>
> Hm, nein, also da wüsste ich nun keinen einfacheren Weg
> als alle Potenzen durchzurechnen und schauen, ob die 24
> Elemente erzeugt werden...
Nun ein Erzeuger e hat ja hier die Eigenschaft, dass [m]e^k\neq 1[/m] für alle [m]k|24,k<24[/m]. Das heißt insbesondere, dass [m]e^{3*4}\neq 1[/m] sein muss, und jedes Element, dass dies erfüllt, auch ein Erzeuger ist (da ja andere Elemente eine Ordnung haben, die 12 teilen). Berechne als [m]a^{12}={{a^2}^2}^3[/m]. Als zweimal quadrieren, dann hoch drei nehmen. Jetzt nimm mal ein Element [m]x+b[/m] und rechne das durch.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mi 10.02.2010 | | Autor: | jokerose |
Ok, aber weshalb hat ein Erzeuger e die Eigenschaft, dass [mm] e^k \not= [/mm] 1 für alle k|24 , k< 24? Muss nicht gelten, dass [mm] e^k \not=1 [/mm] für alle k < 24.
So wird doch ein Erzeuger jeweils definiert? Weshalb denn hier noch die Bedingung k|24 ?
> Nun ein Erzeuger e hat ja hier die Eigenschaft, dass
> [m]e^k\neq 1[/m] für alle [m]k|24,k<24[/m]. Das heißt insbesondere,
> dass [m]e^{3*4}\neq 1[/m] sein muss, und jedes Element, dass dies
> erfüllt, auch ein Erzeuger ist (da ja andere Elemente eine
> Ordnung haben, die 12 teilen). Berechne als
> [m]a^{12}={{a^2}^2}^3[/m]. Als zweimal quadrieren, dann hoch drei
> nehmen. Jetzt nimm mal ein Element [m]x+b[/m] und rechne das
> durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 10.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ok, aber weshalb hat ein Erzeuger e die Eigenschaft, dass
> [mm]e^k \not=[/mm] 1 für alle k|24 , k< 24? Muss nicht gelten, dass
> [mm]e^k \not=1[/mm] für alle k < 24.
Die Ordnung von jedem Element teilt 24, dh ich muss lediglich alle möglichen Ordnungen durchprobieren und einsehen, dass diese nicht 1 sind.
> So wird doch ein Erzeuger jeweils definiert? Weshalb denn
> hier noch die Bedingung k|24 ?
Damit du weniger berechnen musst?!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 Do 11.02.2010 | | Autor: | jokerose |
ok. also habe ich nun mal ein bisschen gerechnet.
[mm] (x+b)^{12} [/mm] = [mm] 2b^2+ 4xb^3 [/mm] + 3xb + [mm] b^4 [/mm] + 4.
Einfacher geht aber auch gerade [mm] x^{12} [/mm] = 4 [mm] \not= [/mm] 1. Also ist x ein erzeuger von [mm] K^{\*}. [/mm] Stimmt das also so?
Aber auch z.B. x+1 ist ein Erzeuger, da [mm] (x+1)^{12} [/mm] = 2 + 2x.
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:48 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm](x+b)^{12}[/mm] = [mm]2b^2+ 4xb^3[/mm] + 3xb + [mm]b^4[/mm] + 4.
Die Formel hilft ja nicht viel, wie ich angemerkt habe - aber: wie komsmt du auf den Ausdruck?!
> Einfacher geht aber auch gerade [mm]x^{12}[/mm] = 4 [mm]\not=[/mm] 1. Also
> ist x ein erzeuger von [mm]K^{\*}.[/mm] Stimmt das also so?
Btw, x hat Ordnung 8
> Korrekt?
Rechen mal x und [m]x+1[/m] wie im andren Posting aufgezeigt durch.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 11.02.2010 | | Autor: | jokerose |
Also mit x habe ichs druchgerechnet. Da erhalte ich auch Ordnung 8.
Aber mit x+1 erhalte ich nicht Ordnung 3.
[mm] (x+1)^3 [/mm] = 2 (es gilt ja [mm] x^2 [/mm] = 2)
Also habe ichs allgemein versucht.
[mm] (x+b)^3 [/mm] = [mm] b^3 [/mm] + [mm] 3b^{2}x [/mm] + b + 2x.
Ich habe aber kein b gefunden, mit diesem die Gleichung 1 ergibt.
Was habe ich wohl falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber mit x+1 erhalte ich nicht Ordnung 3.
Ich jetzt auch nicht mehr :p
> [mm](x+1)^3[/mm] = 2 (es gilt ja [mm]x^2[/mm] = 2)
Stimmt.
> Also habe ichs allgemein versucht.
>
> [mm](x+b)^3[/mm] = [mm]b^3[/mm] + [mm]3b^{2}x[/mm] + b + 2x.
>
> Ich habe aber kein b gefunden, mit diesem die Gleichung 1
> ergibt.
> Was habe ich wohl falsch gemacht?
Gar nichts, so ein b gibt es nicht. Du kannst jetzt allgemein [m](a*x+b)^3[/m] ansetzen, oder aber das Ergebnis zu x+1 weiter ausreizen: du musst ja nur eine Zahl a zu x+1 multiplizieren, so dass [m]a^3=2[/m] ist. Da gibt's ne einfache. Damit erhälst du dein Element der Ordnung 3 - und mit x dann dein primitives Element.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:43 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nun ein Erzeuger e hat ja hier die Eigenschaft, dass
> [m]e^k\neq 1[/m] für alle [m]k|24,k<24[/m]. Das heißt insbesondere,
> dass [m]e^{3*4}\neq 1[/m] sein muss, und jedes Element, dass dies
> erfüllt, auch ein Erzeuger ist (da ja andere Elemente eine
> Ordnung haben, die 12 teilen).
Die Klammer ist absoluter Mist - natürlich könnte ein Element die Ordnung 8 haben.
Man macht dies am einfachtsen so: für jede Primzahlpotenz in der Ordnung sucht man ein Element mit dieser Ordnung. Das Produkt dieser Elemente ist ein Element maximaler ORdnung, also:
Suche Element mit [m](a*x+b)^3=1[/m], also Element der Ordnung 3 (wobei man [m]a=0,b=1[/m] ausschließen muss.)
Suche ein Element mit [m](a'*x+b')^8=1[/m], aber [m](a*x+b)^4\neq 1[/m].
Das sollte zu mindest den Rechenaufwand auch eingrenzen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 Do 11.02.2010 | | Autor: | jokerose |
hm also nun blicke ich nicht mehr durch.
Jetzt sehe ich auch, dass dies in der Klammer nicht stimmen kann, da es ja noch die 8 gibt.
Aber wie kann ich also sonst die Aufgabe einfacher lösen.
Verstehe die Beschreibung nicht so genau.
Also Ordnungen können ja folgende vorkommen: 2, 3, 4, 6, 8, 12.
Also muss ich ein Element a [mm] \in K^{\*} [/mm] finden mit [mm] a^{n} \not= [/mm] 1, n={2,3,4,6,8,12}.
Aber wie ich diese Rechnerei nun vereinfachen kann, sehe ich nicht genau...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie ich diese Rechnerei nun vereinfachen kann, sehe
> ich nicht genau...
Du fängst an zu rechnen (wenn du die [m]x,x+1,\ödots[/m] einfach durchprobieren willst) - mit b rechnest du [m]b^2,b^4,b^8,b^3[/m] aus. Falls [m]b^4\neq 1, b^8=1[/m] ist das sehr gut, dann haben wir ein Element der Ordnung 8, falls [m]b^3=1,n\neq 1[/m] haben wir ein Element der Ordnung 3. Wenn du zwei solche Elemente findest, multipliziere sie und du bist fertig.
SEcki
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