Körper Primzahlpotenz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:44 Do 13.11.2008 | | Autor: | BobBoraxo |
| Aufgabe | | Aufgabe: Sei K ein endlicher Körper. zeige, dass die Anzahl der Elemente in K eine Primzahlpotenz ist. |
ich lese immer wieder diesen Satz, aber habe da keinen Beweis für gefunden. Kann mir da jmd helfen.
Vielen Dank im Vorraus
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Okay ich habe mich nochmal schlau gemacht und ich weiß, dass jede Körpererweiterung über [mm] \IF_{p} [/mm] vom Grad n einen n-dimensionalen Vektorraum über [mm] \IF_{p} [/mm] erzeugt. aber kann es nicht trotzdem eine Konstruktion geben, die einen Körper mit Kardinalität m erzeugt wobei m nicht prim ist ?!
d.h. muss jeder endlicher Körper ein Vektorraum über genau einem Körper [mm] \IF_{p} [/mm] sein? warum geht zum Beispiel nicht [mm] \IF_{3} \times \IF_{5}
[/mm]
Mir erschließt sich das irgendwie nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> Okay ich habe mich nochmal schlau gemacht und ich weiß,
> dass jede Körpererweiterung über [mm]\IF_{p}[/mm] vom Grad n einen
> n-dimensionalen Vektorraum über [mm]\IF_{p}[/mm] erzeugt. aber kann
> es nicht trotzdem eine Konstruktion geben, die einen Körper
> mit Kardinalität m erzeugt wobei m nicht prim ist ?!
> d.h. muss jeder endlicher Körper ein Vektorraum über genau
> einem Körper [mm]\IF_{p}[/mm] sein? warum geht zum Beispiel nicht
> [mm]\IF_{3} \times \IF_{5}[/mm]
Also [mm] $\IF_3 \times \IF_5$ [/mm] ist nicht nullteilerfrei, kann also kein Unterkoerper sein.
Betrachte doch mal die Charakteristik von deinem Koerper; was sagt die denn aus? Wenn die $p$ ist, ueberlege dir dass du [mm] $\IF_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$ [/mm] in den Koerper einbetten kannst.
LG Felix
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Okay, wenn die Chrackteristik p ist, bedeutet das doch, dass ich p mal das einselement aufaddieren kann bis null rauskommt ja?! Das [mm] \IF_{p} [/mm] auch isomorph zu [mm] \IZ_{p} [/mm] ist (mit p prim) kann ich auch noch verstehen.
Aber wenn ich mir jetzt zum Beispiel den [mm] \IF_{3} \times\IF_{3} [/mm] dann ist das ja n wunderbarer Körper. Kann ich mir nicht auch zwei schöne Verknüpfungen für den [mm] \IF_{3} \times \IF_{5} [/mm] konstruieren, so dass der auch nen Körper ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> Okay, wenn die Chrackteristik p ist, bedeutet das doch,
> dass ich p mal das einselement aufaddieren kann bis null
> rauskommt ja?!
Ja.
> Das [mm]\IF_{p}[/mm] auch isomorph zu [mm]\IZ_{p}[/mm] ist
> (mit p prim) kann ich auch noch verstehen.
Gut. (Wie auch immer ihr [mm] $\IF_p$ [/mm] definiert habt...)
> Aber wenn ich mir jetzt zum Beispiel den [mm]\IF_{3} \times\IF_{3}[/mm]
> dann ist das ja n wunderbarer Körper.
Warum sollte das ein Koerper sein? Ist es naemlich nicht. Man kann es zwar zu einem machen, indem man die Multiplikation neu definiert, aber dann heisst das nicht [mm] $\IF_3 \times \IF_3$.
[/mm]
> Kann ich mir nicht
> auch zwei schöne Verknüpfungen für den [mm]\IF_{3} \times \IF_{5}[/mm]
> konstruieren, so dass der auch nen Körper ist.
Warum solltest du das koennen?
Du sollst ja gerade beweisen dass das nicht geht. Warum versuchst du dann so krampfhaft ein Gegenbeispiel zu finden, indem du irgendetwas behauptest, ohne es zu begruenden?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Fr 14.11.2008 | | Autor: | BobBoraxo |
Nagut also, wenn ich mir jede Körpererweiterung als Vektorraum über dem Grundkörper K vorstelle, dann kann ich verstehen, dass es [mm] p^n [/mm] Elemente gibt.
Weil Angenommen wir hätten einen Körper [mm] \IF_{m} [/mm] über einem endlichen Körper K mit wobei K Chrakteristik p hat.
Dann gäbe es eine Basis aus n Vektoren [mm] e_{1},...,e_{n} \in \IF_{m} [/mm] und für alle x [mm] \in \IF_{m}gilt [/mm]
x= [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} e_{i} [/mm] und [mm] \lambda_{i} \in [/mm] K . ja?
und da [mm] \lambda_{i} \in [/mm] K würde daraus ja folgen, dass es genau [mm] p^n [/mm] Elemente in [mm] \IF_{m} [/mm] gibt.
Stimmt das?
Weil, dass heißt dann ja auch, dass jeder Körper immer genau einen Grundkörper [mm] \IF_{p} [/mm] besitzt, der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist ist.
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