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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mi 23.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | (a) Definieren Sie die Verknüpfung +, damit [mm] (\{0, 1\},+, [/mm] 0) eine Gruppe ist.
(b) Definieren Sie die Verknüpfung *, damit [mm] (\{0, 1\},+, [/mm] *, 0, 1) ein Körper ist |
Hallo,
die Lösungen zu der Aufgabe habe ich zwar, aber verstanden habe ich es noch nicht ganz.
Soll ich die Verknüpfung so definieren, dass es die Eigenschaften der Gruppe bzw. des Körpers erfüllt?
bei a) steht in der Lösung:
1+1=0 und 1+0=0+1=1
das erste ist sozusagen das inverse und das zweite das neutrale Element.
Eigentlich müsste man noch die assoziativität zeigen oder?
bei b)
1*1=1 und 1*0=0*1=0*0
das versteh ich nicht. Ok das erste ist das neutrale element bezüglich der multiplikation, aber das zweite? Muss man beim Körper nicht 5 Eigenschaften zeigen?
1) Assoziativität bzgl. der Addition und Multiplikation
2) Neutrales Element bzgl. der Addition und Multiplikation
3)Inverses Element bzgl. der Addition und Multiplikation
4) Kommutativität bzgl. der Addition und Multiplikation
5) Distributivität
Danke im Voraus
Lg Melisa
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Hallo,
> (a) Definieren Sie die Verknüpfung +, damit [mm](\{0, 1\},+,[/mm]
> 0) eine Gruppe ist.
> (b) Definieren Sie die Verknüpfung *, damit [mm](\{0, 1\},+,[/mm]
> *, 0, 1) ein Körper ist
>
> Hallo,
>
> die Lösungen zu der Aufgabe habe ich zwar, aber verstanden
> habe ich es noch nicht ganz.
> Soll ich die Verknüpfung so definieren, dass es die
> Eigenschaften der Gruppe bzw. des Körpers erfüllt?
>
> bei a) steht in der Lösung:
>
> 1+1=0 und 1+0=0+1=1
und 0+0=0
>
> das erste ist sozusagen das inverse und das zweite das
> neutrale Element.
0 ist das neutrale Element und jedes Element ist zu sich selbst invers!
>
> Eigentlich müsste man noch die assoziativität zeigen
> oder?
Schon, das ist aber trivial.
>
> bei b)
>
> 1*1=1 und [mm] 1*0=0*1=0*0\red{=0}
[/mm]
>
> das versteh ich nicht. Ok das erste ist das neutrale
> element bezüglich der multiplikation, aber das zweite?
0 ist das neutrale Element bzgl addition (siehe a) und 1 das bzgl Multiplikation
Sprich bitte nicht vom 1. und 2. element. Die haben Namen (Eins, Null).
> Muss man beim Körper nicht 5 Eigenschaften zeigen?
dass die Menge mit der Verknüpfung + eine abelsche Gruppe bildet wurde in a) gezeigt. Abelsch (d.h. Kommutativität ist eingeschlossen) ist sie nach definition der verknüpfung.
>
> 1) Assoziativität bzgl. der Addition und Multiplikation
> 2) Neutrales Element bzgl. der Addition und
> Multiplikation
> 3)Inverses Element bzgl. der Addition und Multiplikation
> 4) Kommutativität bzgl. der Addition und Multiplikation
> 5) Distributivität
Das sind schon im Wesentlichen die Eigenschaften.
Es sind neutrales Element von Addition und Multiplikation verschieden in einem Körper. Das neutrale Element der Addition hat auch keine multiplikatives Inverses.
Übrig bliebe also zu zeigen, dass die Menge mit * eine abelsche Gruppe bildet.
>
> Danke im Voraus
>
> Lg Melisa
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 23.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.
Was sind die Lösungen in [mm] (\{0, 1\},+, [/mm] *) des folgenden Gleichungssystems?
x +y = 0
x +z = 0
y +z = 0
Bring ich es mit Gauss in Stuffenform bekomme ich
[mm] \pmat{ 1 & 1&0 \\ 0 & 1&1 \\0&0&0}
[/mm]
d.h. L:{0,0,0} bei den Lösungen steht jedoch L:{1,1,1}
Ich versteh nicht warum?
Kannst du mir das auch erklären?
Danke im voraus
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 23.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melisa!
> Hallo,
>
> danke erstmal für deine Antwort.
>
>
> Was sind die Lösungen in [mm](\{0, 1\},+,[/mm] *) des folgenden
> Gleichungssystems?
> x +y = 0
> x +z = 0
> y +z = 0
>
>
> Bring ich es mit Gauss in Stuffenform bekomme ich
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1&0 \\ 0 & 1&1 \\0&0&0}[/mm]
>
> d.h. L:{0,0,0} bei den Lösungen steht jedoch L:{1,1,1}
>
> Ich versteh nicht warum?
Denk dran, dass in dem Körper [mm](\{0, 1\},+, \ast)[/mm] für die Addition die Regel
[mm] 1+ 1 = 0 [/mm]
gilt.
Wenn du also $x=y=z=1$ einsetzt, siehst du, dass das Gleichungssystem erfüllt ist. Du hast also außer der Lösung [mm] $\{0,0,0\}$ [/mm] auch noch die Lösung [mm] $\{1,1,1\}$. [/mm]
Um darauf zu kommen, hilft dir die folgende Überlegung: in deiner Stufenform besteht die letzte Zeile aus lauter Nullen; das heisst nichts anderes, als dass du eine der Variablen $x,y,z$ frei wählen kannst. Starte also mit den beiden Möglichkeiten $x=0$ und $x=1$, und du wirst auf die beiden angegebenen Lösungen kommen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 23.02.2011 | | Autor: | melisa1 |
danke habs gepeilt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Mi 23.02.2011 | | Autor: | abakus |
> danke habs gepeilt
Hallo,
jetzt muss ich mal nachfragen:
Du hattest selbst L={ 0, 0, 0 } und hast behauptet, in der Musterlösung würde L= { 1,1,1} stehen. War die Musterlösung wirklich so (das würde bedeuten, dass 1,1,1 im Körper die EINZIGE Lösung wäre) oder hatte die Lösungsmenge der Musterlösung sowohl 0,0,0 als auch 1,1,1 ?
Gruß Abakus
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