Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ist [mm] SL_{2}(\IZ_{2}) [/mm] ein Körper ( warum oder warum nicht)? |
Wir wissen das Det von [mm] SL_{2}\IZ_{2} [/mm] immer 1 ist...
Und nach den Gesetzen des Körpers, muss eine Matrix A Verknüpft mit einer Matrix B eine Matrix C ergeben, die auch den gesetzen entspricht...
Sei [mm] A=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}
[/mm]
und [mm] B=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
det(A)= -1 aber modulo 2 ist -1=1
det(B)= 1
Nach Matrizen addition ergibt A+B=C
C= [mm] \pmat{1 & 1 \\ 1 & 1}
[/mm]
=> det(C)= 0
=>C kann keine Matrix von [mm] SL_{2}\IZ_{2} [/mm] sein
[mm] =>SL_{2}\IZ_{2} [/mm] ist kein Körper.
Stimmt das so.....?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Sa 14.01.2006 | | Autor: | moudi |
> Ist [mm]SL_{2}(\IZ_{2})[/mm] ein Körper ( warum oder warum nicht)?
> Wir wissen das Det von [mm]SL_{2}\IZ_{2}[/mm] immer 1 ist...
> Und nach den Gesetzen des Körpers, muss eine Matrix A
> Verknüpft mit einer Matrix B eine Matrix C ergeben, die
> auch den gesetzen entspricht...
>
> Sei [mm]A=\pmat{0 & 1 \\ 1 & 0}[/mm]
> und [mm]B=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> det(A)= -1 aber modulo 2 ist -1=1
> det(B)= 1
>
> Nach Matrizen addition ergibt A+B=C
> C= [mm]\pmat{1 & 1 \\ 1 & 1}[/mm]
>
> => det(C)= 0
>
> =>C kann keine Matrix von [mm]SL_{2}\IZ_{2}[/mm] sein
> [mm]=>SL_{2}\IZ_{2}[/mm] ist kein Körper.
>
> Stimmt das so.....?
Hallo ShinySmile
Ja so ist es schon recht, man muss allerdings noch präzisieren, dass [mm]SL_{2}\IZ_{2}[/mm] mit der Matrixmultiplikation und Matrixaddition kein Körper ist. Man kann aber diese Menge auch auf keine andere Weise zu einem Körper machen, weil die Kardinalität eines endlichen Körpers stets eine Primzahlpotenz sein muss, und [mm]SL_{2}\IZ_{2}[/mm] (wenn ich mich nicht geirrt habe) 6 Elemente besitzt.
mfG Moudi
|
|
|
|
