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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Fr 07.07.2023 | | Autor: | Spica |
Auf einem nur 3x3 Felder großen Schachbrett steht als einzige Figur der König auf a1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der König nach 2 Zügen zufällig auf a3 steht, wenn alle Züge gleich wahrscheinlich sind?
Nun wird als Lösung dieser Aufgabe aus dem Leistungsfach Mathe von 2010 in Thüringen folgende Lösung angegeben:
[mm] P=1/3(0,2+0,125+0)\approx10,83 [/mm] Prozent.
Wenn ich aber alle möglichen Zweierkombinationen durchgehe, komme ich auf insgesamt 18 verschiedene Varianten, von denen 2 nach a3 führen. Damit wäre doch aber P [mm] \approx [/mm] 11,11 Prozent.
Wo liegt mein Fehler, da ich mal davon ausgehe, dass die obige Lösung wohl schon stimmen wird.
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Hiho,
> Wenn ich aber alle möglichen Zweierkombinationen
> durchgehe, komme ich auf insgesamt 18 verschiedene
> Varianten, von denen 2 nach a3 führen.
Korrekt.
> Damit wäre doch aber P [mm]\approx[/mm] 11,11 Prozent.
> Wo liegt mein Fehler, da ich mal davon ausgehe, dass die
> obige Lösung wohl schon stimmen wird.
In der Berechnung deines $P$.
Wie berechnest du das denn und was nimmst du dafür implizit an?
(Ich schreibe dir deinen Fehler mal nicht direkt hin, vielleicht kommst du mit obigem Hinweis ja selbst drauf  ).
Gruß,
Gono
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Für den Weg von a1 nach a3 in genau zwei Zügen gibt es nur genau
zwei Wege, nämlich
entweder a1 -> a2 -> a3
oder aber a1 -> b2 -> a3
Um die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Wege zu bestimmen, muss
man sie in einzelnen Schritten betrachten.
Rechnerisch ergibt sich dann:
[mm] P_2 [/mm] (a1 -> a3) = [mm] P_1(a1 [/mm] -> a2) * [mm] P_1(a2 [/mm] -> a3) + [mm] P_1(a1 [/mm] -> b2) * [mm] P_1(b2 [/mm] -> a3)
(ich hoffe, dass man meine Bezeichnungen versteht)
Dann ist beispielsweise:
[mm] P_1(a1 [/mm] -> a2) = 1/3
und [mm] P_1(b2 [/mm] -> a3) = 1/8
(warum genau ?)
Damit kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen.
Zentraler Gedanke: Von jedem Feld aus sind dem Schach-König
jeweils nur entweder drei oder fünf oder acht benachbarte Felder
überhaupt direkt zugänglich !
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 10.07.2023 | | Autor: | Spica |
Hallo an die beiden Antworter,
also seid ihr auch der Meinung, dass P [mm] \approx [/mm] 11,1 % sein müsste?
Die Aufgabe stammt aus "Das große Buch der mathematischen Rätsel" von Heinrich Hemme, Aufgabe 186, Lösung Seite 236/237.
Da wird P = 1/3 * (1/5 + 1/8 + 0) = 13/120 [mm] \approx [/mm] 10,83 % als Lösung angegeben.
Begründet wird es damit, dass der König mit jeweils P = 1/3 auf a2, b1 oder b2 mit seinem ersten Zug kommt. Beim zweiten Zug erreicht er dann von diesen 3 Feldern aus a3 mit den Wahrscheinlichkeiten in der Klammer, also 1/5, 1/8 und 0.
Als Quelle wird von Hemme angegeben: Schriftliches Abitur im Leistungsfach Mathematik, Aufgabe C/e, Thüringen, 23. April 2010.
VG Spica
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mo 10.07.2023 | | Autor: | Fulla |
Hallo Spica,
> Hallo an die beiden Antworter,
>
> also seid ihr auch der Meinung, dass P [mm]\approx[/mm] 11,1 % sein
> müsste?
Nein, sind sie nicht.
Bei deinem Lösungsversuch "2 von 18 möglichen Wegen führen zum Feld A3 [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]P=\frac{2}{18}[/mm]" berücksichtigst du nicht, dass die 18 möglichen Ergebnisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.
Lieben Gruß
Fulla
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Hallo Spica
In meiner ersten Antwort habe ich schon die Formel zur Berechnung angegeben:
$ [mm] P_2 [/mm] $ (a1 -> a3) = $ [mm] P_1(a1 [/mm] $ -> a2) * $ [mm] P_1(a2 [/mm] $ -> a3) + $ [mm] P_1(a1 [/mm] $ -> b2) * $ [mm] P_1(b2 [/mm] $ -> a3)
In Zahlen wird daraus:
$ [mm] P_2 [/mm] $ (a1 -> a3) = (1/3) * (1/5) + (1/3) * (1/8) = (1/3) * (13/40) = 13 / 120 ≈ 0.10833 ≈ 10.83%
Damit die Aufgabe wirklich ganz klar gestellt ist, müsste man sie vielleicht so präzisieren: "Für jeden einzelnen Zug bzw. "Schritt" des Königs wird jeweils aus den von seinem aktuellen Feld aus tatsächlich zugelassenen Zügen einer nach dem Prinzip der Gleichwahrscheinlichkeit ausgewählt und ausgeführt."
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mo 10.07.2023 | | Autor: | Spica |
Danke an alle!
Jetzt ist der Groschen gefallen.
VG Spica
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