Koeffizientenmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 So 06.11.2005 | | Autor: | fvs |
Seien A, B Koeffizientenmatrizen zu homogenen linearen Gleichungssystemen, die beide dieselbe Lösungsmenge L haben. Ist dann stets L eine Teilmenge der Lösungsmenge des linearen Gleichungssytems mit der Koeffizientenmatrix A+B?
Mich interessiert, wie der Ansatz lautet. Ich erhalte immer nur HOMOGENE Gleichungssysteme mit der trivialen Lösung 0. Ich brauche also dringend Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 So 06.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo fvs,
was haben wir also bis jetzt?
Wir haben zwei homogene, lineare Gleichungssysteme der Formen
$A [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{0}$ [/mm] und $B [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{0}$.
[/mm]
Beide Gleichungssysteme sollen dieselbe Lösung haben.
Also wenn [mm] $\underline{x}$ [/mm] das Gleichungssystem $A [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{0}$ [/mm] löst, soll es auch Lösung von $B [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{0}$ [/mm] sein.
Nun betrachten wir das Gleichungssystem $(A+B) [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{c}$.
[/mm]
Was können wir sagen?
Wir können zunächst schreiben:
$(A+B) [mm] \underline{x} [/mm] = A [mm] \underline{x} [/mm] + B [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{c}$
[/mm]
Dann wissen wir weiter: Löst [mm] $\underline{x_0}$ [/mm] $A [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{0}$, [/mm] so gilt:
$(A+B) [mm] \underline{x_0} [/mm] = [mm] \underline{0} [/mm] + [mm] \underline{0} [/mm] = [mm] \underline{0} [/mm] = [mm] \underline{c}$
[/mm]
Hieraus lässt sich nun ablesen, was Du wissen wolltest.
Einfach schauen, was sofort passiert, wenn Du eine Lösung [mm] $\underline{x_0}$ [/mm] einsetzt.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 06.11.2005 | | Autor: | fvs |
Hallo AT-Colt,
vielen Dank für die Antwort. Also geht es tatsächlich nur mit der trivialen Lösung. Ist L damit eine Teilmenge der Lösungmenge des linearen Gleichungssystems mit der Koeffizeitenmatrix A+B, oder ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit der Koeffizientenmatrix A+B eine Teilmenge von L, wegen des vorhandenseins von nur einer Lösung, weis ich nicht welche Antwort wahr oder falsch ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Mo 07.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo fvs,
wir wissen, dass jedes [mm] $\underline{x_0}$ [/mm] auch $(A+B) [mm] \underline{x} [/mm] = [mm] \underline{0}$ [/mm] löst.
Also folgt aus [mm] $\underline{x_0} \in L_{A}$ [/mm] sofort [mm] $\underline{x_0} \in L_{(A+B)}$ [/mm] und [mm] $L_{A}$ [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] $L_{(A+B)}$.
[/mm]
Dass beide Menge nicht identisch sind, sieht man, wenn man folgende Matrizen betrachtet:
$A = [mm] \pmat{ 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&0}, [/mm] B = [mm] \pmat{ 0&1&0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&0}, [/mm] A+B = [mm] \pmat{ 1&1&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&0}$
[/mm]
A und B besitzen die Lösungsmenge $L = [mm] \vektor{0\\0\\a}$ [/mm] mit a aus IR, aber A+B besitzt darüber hinaus noch die Lösung $L = [mm] \vektor{a\\-a\\0}$.
[/mm]
Wie Du siehst, muss es nicht zwangsläufig die triviale Lösung sein, das hängt entschieden davon ab, ob die beteiligten Matrizen invertierbar sind.
greetz
AT-Colt
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