Koeffizienten, Fourierreihe < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Ermiteln Sie die reellen Koeffizienten der trigonometrischen Fourierreihe der in der Abbildung gegebenen periodischen Funktion g(t). (Als Ersatz für die Abbildung poste ich die mathematische Beschreibung der Funktion für eine Periode)
[mm] g(t)=\begin{cases} \bruch{4}{T}t+\bruch{1}{2} & \mbox{für } t\in[-\bruch{1}{8}T,\bruch{1}{8}T) \mbox{} \\ 0 & \mbox{} \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] |
Hallo Matheraum!
In diesem Post geht es mir darum herauszufinden, wieso man in diesem Fall neben den ungeraden Koeffizienten [mm] b_{k} [/mm] auch die geraden Koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] berechnet.
Woran kann man durch einen Blick auf eine Skizze erkennen, dass man die geraden [mm] a_{k} [/mm] berechnen muss, obwohl die Funktion offensichtlich ungerade ist?
Über einen hilfreichen Tipp würde ich mich freuen!
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Marcel,
sorry, da habe ich in meiner ersten Antwort einfach gepennt. Die Funktion ist durch den Versatz weder gerade noch ungerade. Deswegen tauchen beide Typen von Koeffizienten auf.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo infinit!
Das Problem ist aber, dass in der Musterlösung für diese Funktion neben den ungeraden [mm] b_{k} [/mm] auch gerade [mm] a_{k}\not=0 [/mm] berechnet werden. Jetzt habe ich in meinem schlauen Mathebuch gelesen, dass es wohl auch Funktionen gibt, die weder gerade noch ungerade sind; man lernt irgendwie nie aus.
Offensichtlich kann man durch
[mm] g(x)=\bruch{1}{2}(f(x)+f(-x)) [/mm] (gerader Anteil) und
[mm] u(x)=\bruch{1}{2}(f(x)-f(-x)) [/mm] (ungerader Anteil)
mit f(x)=g(x)+u(x)
jede auf [mm] \IR [/mm] definierte Funktion in seine geraden, bzw. ungeraden Anteile zerlegen. Die gegebene Funktion habe ich also gemäß den Formeln wie folgt zerlegt:
Die konstante Funktion [mm] \bruch{1}{2} [/mm] liefert offensichtlich den geraden Anteil der Funktion.
Die lineare Funktion [mm] \bruch{4}{T}t [/mm] liefer offensichtlich den ungeraden Teil der Funktion.
Nun habe ich auf diesem Wege die [mm] a_{k} [/mm] berechnet und das gleiche Ergebnis wie in der Musterlösung erhalten. Darf man also im Allgemeinen mit diesen Formeln vorgehen oder stimmt das Ergebnis nur zufällig überein?
Wenn man die Funktion um den geraden Anteil [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nach unten verschieben würde, wäre die Funktion zumindest punktsymmetrisch zum Nullpunkt, welches laut Mathebuch ein hinreichendes Kriterium dafür ist, dass f(x) ungerade ist.
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Di 16.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast völlig recht.Natürlich gibt es fkt die weder gerade noch ungerade sind.
Allerdings sie so einfach in geraden und ungeraden Anteil zu zerlegen ist nicht immer so einfach,
nimm etwa [mm] f(x)=e^x [/mm] für -T/8<t<+T/8 , 0 sonst.
Da kannst du nicht einfach in geraden und ungeraden Teil zerlegen , du kannst das immer noch , indem du umschreibst:
[mm] f(x)=e^x=(0.5e^x+0.5e^{-x})+(0.5e^x-0.5e^{-x}))
[/mm]
jetzt kannst du zerlegen.
Benutzt hab ich dass für jede fkt f(x) gilt:
g(x)=f(x)+f(-x) ist gerade
u(x)=f(x)-f(-x) ist ungerade
und f(x)=0.5g(x)+0.5u(x)
Gruss leduart
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> Hallo Marcel,
> aus der Funktion kann man ja erkennen, dass diese ungerade
> ist,
Hallo,
nein, das ist sie nicht.
Es war
> > $ [mm] g(t)=\begin{cases} \bruch{4}{T}t+\bruch{1}{2} & \mbox{für } t\in[-\bruch{1}{8}T,\bruch{1}{8}T) \mbox{} \\ 0 & \mbox{} \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $,
im oberen Intervall haben wir eine gerade, die nicht durch den Ursprung geht.
Gruß v. Angela
> die a-Koeffizienten wären demzufolge Null. In der
> Aufgabenstellung ist nur von der Ermittlung, nicht der
> Berechnung, der reellen Koeffizienten die Rede. Ich finde,
> dass man als Antwort darauf akzeptieren müsste, dass die
> Funktion ungerade ist und deswegen die Cosinuskoeffizienten
> alle Null sind.
> Viele Grüße,
> Infinit
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:51 Di 16.03.2010 | | Autor: | leduart |
Siehe Mitteilung angela
Gruss leduart
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