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| Aufgabe | | In welchem Verhältnis müssen die Koeffizienten der Parabel y = ax² + bx + x zueinander stehen, damit die Parabel die x- Achse berührt. |
Moin zusammen,
Ich weiß zwar, welcher Parameter die Parabel wie beeinflusst, aber mir fehlt der Lösungsansatz bzw. das Aufgabenverständnis.
Wenn mir jemand weiter helfen kann, wäre ich dankbar!
MfG Hannelore
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 05.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Damit der Graph (ich nehme mal an, du meinst [mm] f(x)=ax²+bx+\red{c}) [/mm] die x-Achse berührt, darf es nur eine Nullstelle geben, (Beide Nullstellen sollen "zusammenfallen")
Also:
[mm] ax^{2}+bx+c=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{b}{a}x+\bruch{c}{a}=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=-\bruch{b}{2a}\pm\wurzel{\bruch{b²}{4a²}-\bruch{c}{a}}
[/mm]
Da [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] gelten soll, muss der Wurzelterm =0 sein.
Also suche mal a, b und c so, dass gilt:
[mm] \green{\bruch{b²}{4a²}-\bruch{c}{a}=0}
[/mm]
Ausserdem ist bei der Nullstelle [mm] x=-\bruch{b}{2a} [/mm] eine waagerechte Tangente vorhanden, also [mm] f'\left(-\bruch{b}{2a}\right)=0
[/mm]
Also [mm] \green{2a\left(-\bruch{b}{2a}\right)+b\left(-\bruch{b}{2a}\right)=0}
[/mm]
Aus den beiden grünen Gleichungen versuche mal ein Verhältnis für a, b und c zu ermitteln, also irgendwas á la c=4a+8 und b=6a-12.
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:26 Do 05.02.2009 | | Autor: | hannelore |
Hallo Marius,
ich habe versucht die grünen Gleichungen miteinander zu verknüpfen. Ich habe wie weiter unten dargestellt versucht die Koeffizienten anders auszudrücken und dann wollte ich die Gleichungen gleichsetzen. Nur egal wie ich umstelle ich komme nicht zum Ziel.
[Dateianhang nicht öffentlich]
MfG Hannelore
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 05.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hannelore!
Dein $c_$ hast Du korrekt ermittelt.
Aber wie kommst du dann auf die nachfolgende (Bestimmungs-)Gleichung? Soll das die Ableitung der Parabel sein? Das stimmt so nicht, da gilt: $p'(x) \ = \ 2a*x+b$ .
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
aus dem Tipp von Marius ging hervor, dass es eine Tangente mit eben dieser Gleichung gibt, mit der ich dem in der p,q - Formelt unter der Wurzel stehenden Wert gleichsetzen muss? Ich denke damit ist die x-Achse gemeint, sie am Extremwert anliegt.
Mfg Hannelore
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Hallo hannelore,
ja, das war gemeint. Allerdings bekommst Du nur die Lösung, die Du schon gefunden hast: [mm] c=\bruch{b^2}{4a}
[/mm]
Grüße
reverend
PS: Ich schreibe gleich noch eine weitere Antwort, an Deiner ersten Frage angehängt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:15 Do 05.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
> Also
> [mm]\green{2a\left(-\bruch{b}{2a}\right)+b\left(-\bruch{b}{2a}\right)=0}[/mm]
> Aus den beiden grünen Gleichungen ...
Wo will diese Gleichung denn hin? Oder vielmehr, wo kommt sie her? Die Ableitung hast Du doch gerade schon verwurstet, und in die Funktionsgleichung eingesetzt, ergibt sich etwas anderes. Übrigens nichts, was das Ergebnis erhellt, ausweitet oder einschränkt. Dein erster Ansatz ist hinreichend für die vollständige Lösung.
Liebe Grüße,
reverend
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Hallo Hannelore,
es gibt - soweit ich gerade sehe - drei Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen.
1) Da es nur einen Berührpunkt geben darf, kann man (wie schon geschehen) [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] nach x auflösen, so dass es nur eine Lösung gibt. Dazu muss die in der p,q-Formel vorkommende Wurzel (oder die in der "Mitternachtsformel") 0 werden. Lösung: [mm] c=\bruch{b^2}{4a}
[/mm]
2) Der Berührpunkt muss ja das Extremum der Parabel sein, egal ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. Darum kann man auch die einzige Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen, und das gewonnene [mm] x_0 [/mm] in die Funktionsgleichung einsetzen, um noch c zu bestimmen. Lösung: [mm] c=\bruch{b^2}{4a}
[/mm]
3) Anschaulich kann man auch die normale Parabel [mm] y=x^2 [/mm] nehmen, die die x-Achse ja nur im Nullpunkt berührt. Was sind nun erlaubte Operationen, so dass sich die Parabel verändert, das Extremum aber auf der x-Achse bleibt? Da gibt es zwei Möglichkeiten: a) die Verschiebung in x-Richtung [mm] x^2\rightarrow(x-d)^2 [/mm] und b) die Streckung oder Stauchung um einen Faktor e, [mm] x^2\rightarrow ex^2. [/mm] Ist e<0, wird die Parabel "umgeklappt" und ist nach unten geöffnet. Zusammengenommen ergibt sich jedenfalls [mm] y=e(x-d)^2=ex^2-2edx+ed^2
[/mm]
Durch Vergleich der Koeffizienten in der bisherigen allgemeinen Form [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm] ergibt sich dann [mm] \bruch{b^2}{c}=a [/mm] oder umgestellt: [mm] c=\bruch{b^2}{4a}
[/mm]
Und das wars schon. In dieser Darstellungsform ist auch enthalten, dass [mm] a\not=0 [/mm] sein muss. Weitere Einschränkungen sind nicht zu fordern.
Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Fr 06.02.2009 | | Autor: | hannelore |
Danke euch allen!
MfG Hannelore
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