Kleinste natürliche Zahl < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl N, sodass für n>N gilt:
[mm] (n+1)/2n^2 [/mm] < 1/1000
Lösung ist N = 501.
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Wie komme ich darauf? Habe schon 2h viel porbiert, habe keinen Ansatz. BITTE helft mir, danke.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Sa 13.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
im prinzip müßtest du die ungleichung nach n auflösen.
[mm] \bruch{(n+1)}{2n^2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] | [mm] *2n^2 [/mm] (n aus dem nenner "kriegen")
(n+1) < [mm] \bruch{2n^2}{1000} [/mm]
(n+1) < [mm] \bruch{1}{500}*n^2 [/mm] | -n (alle n auf eine seite bringen)
1 < [mm] \bruch{1}{500}*n^2 [/mm] - n | *500
500 < [mm] n^2 [/mm] -500n
jetzt
...entweder n ausklammern
500 < n*(n-500)
ab welchem n ist die ungleichung "wahr"
wenn n<500 ist, ist die rechte seite kleiner als null, also die ungleichung nicht wahr.
wenn n=0 ist, ist die rechte seite gleich null, also die ungleichung nicht wahr.
wenn n=501 oder n [mm] \ge [/mm] 500 ist, ist die ungleichung wahr.
...oder grenzfall betrachten, d.h. wann ist die linke seite gleich der rechten seite?
a) quadratische ergänzung
500 < [mm] n^2 [/mm] - 500n
500 + [mm] 250^2 [/mm] < [mm] n^2 [/mm] -500n + [mm] 250^2
[/mm]
63000 < [mm] (n-250)^2 [/mm] und wurzel ziehen
[mm] \pm [/mm] 250,998 < n-250
500,998 < [mm] n_{1}
[/mm]
-250,998+250 < [mm] n_{2} [/mm]
-0,998 < [mm] n_{2} [/mm] (lösung nicht im bereich der natürlichen zahlen, daher nicht relevant)
b) pq-formel --- rechte seite
500 < [mm] n^2 [/mm] - 500n
0 < [mm] n^2 [/mm] -500n -500
betrachte grenzfall 0 = 0
[mm] n_{1/2} [/mm] = 250 [mm] \pm \wurzel{250^2 +500}
[/mm]
[mm] n_1 [/mm] = 250 + 250,998
=> kleinste natürliche zahl, die die ungleichung erfüllt: 501.
[mm] n_2 [/mm] = 250 - 250,998 = -0,998 <0 => nicht relevant.
gruß
wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Analytiker |
Vielen Dank lieber Wolfgang für die Hilfe. Jetzt habe ich es...*g*. Schönes WOE.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Wolfgang,
> a) quadratische ergänzung
>
> 500 < [mm]n^2[/mm] - 500n
>
> 500 + [mm]250^2[/mm] < [mm]n^2[/mm] -500n + [mm]250^2[/mm]
>
> 63000 < [mm](n-250)^2[/mm] und wurzel ziehen
>
> [mm]\pm[/mm] 250,998 < n-250
>
> 500,998 < [mm]n_{1}[/mm]
>
> -250,998+250 < [mm]n_{2}[/mm]
So löst man keine quadratische Ungleichung!
Aus
63000 < [mm] (n-250)^{2}
[/mm]
folgt zunächst:
|n - 250| > [mm] \wurzel{63000}
[/mm]
bzw.
|n - 250| > 250,998
Das aber ergibt:
n - 250 > 250,998 [mm] \vee [/mm] n - 250 [mm] \red{<} [/mm] -250,998
also:
n > 500,998 [mm] \vee [/mm] n [mm] \red{<} [/mm] -0,998
Wäre Deine Lösung (2. Teil) richtig, also n > -0,998, wäre auch n [mm] \ge [/mm] 0 als Lösung der Aufgabe brauchbar!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Sa 13.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin zwerglein,
danke für den hinweis!
auf die betragsfunktion wäre ich hier so man gar nicht gekommen.
gruß
wolfgang
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