Kleinsche Vierergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Sei T ein regelmäßiges Tetraeder mit Ecken P,Q,R,S und Sym(T) seine Symmetriegruppe. Sei
H= [mm] \{\sigma \in Sym(T) | \sigma ( \{P,Q\} )=\{P,Q\}\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass H isomorph zur Kleinschen Vierergruppe [mm] V_{4}=\IZ_{2} \times \IZ_{2} [/mm] ist. |
Hallo 
Irgendwie bin ich mir nicht so ganz sicher..
Also nach meinem Verständnis ist H die Anzahl der Elemente die die beiden Punkte P,Q festlässt, also [mm] \sigma_{1} [/mm] = Identität oder [mm] \sigma_{2} [/mm] = Rotation um die Achse P,Q.
Somit wäre H eine zyklische Gruppe mit [mm] (H,\circ). [/mm] Denn es gilt, mit [mm] \sigma_{1}, \sigma_{2} [/mm] wie oben, [mm] \sigma_{2} \circ \sigma_{2} [/mm] = [mm] \sigma_{1} [/mm] = neutrales Element bzgl. [mm] \circ [/mm] , also H = [mm] <\sigma_{2}>.
[/mm]
Da jedoch die Kleinsche Vierergruppe nicht zyklisch ist, können die beiden Gruppen doch gar nicht isomorph zueinander sein. Nach meinem Verständnis wäre H isomorph zu [mm] (\IF_{2},+).
[/mm]
Was habe ich denn übersehen?
LG,
Topologe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 10.11.2013 | | Autor: | Topologe |
Keiner da, der ein Tipp hat? :-(
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Aufgabe
Sei T ein regelmäßiges Tetraeder mit Ecken P,Q,R,S und Sym(T) seine Symmetriegruppe. Sei
H= $ [mm] \{\sigma \in Sym(T) | \sigma ( \{P,Q\} )=\{P,Q\}\}. [/mm] $
Zeigen Sie, dass H isomorph zur Kleinschen Vierergruppe $ [mm] V_{4}=\IZ_{2} \times \IZ_{2} [/mm] $ ist.
Hallo Topologe,
anstatt von Rotationen auszugehen, obwohl dies
im Prinzip auch möglich sein sollte, würde ich
hier eher Spiegelungen zugrunde legen.
Mit einer Skizze oder einem Tetraedermodell
(wenn du kein solches hast oder findest, bastle
dir selber eins z.B. aus 6 Trinkhalmen und etwas
Bindfaden !) kannst du dir die Selbstabbildungen
des Tetraeders PQRS, welche die Kante PQ in sich
übergehen lassen (entweder jeden Punkt einzeln
oder aber in verdrehter Reihenfolge) ganz gut
veranschaulichen. Alle solchen Selbstabbildungen
kann man am besten durch (ganz ganz) wenige
Ebenenspiegelungen an geeigneten Ebenen dar-
stellen. Und damit ist man dann auch praktisch
schon am Ziel !
LG , Al-Chw.
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Rotation um die Achse PQ?
Wie soll das aussehen.
Die Symmetriegruppe vom Tetraeder ist die [mm] $S_4$ [/mm] und ohne die Spiegelung die [mm] $A_4$. [/mm] Es gibt also zwei Drehungen [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\rho$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hierbei geht [mm] $\sigma$ [/mm] durch den Punkt $c$ und den Mittelpunkt der Fläche $a,b,d$. Analog geht [mm] $\rho$ [/mm] durch den Mittelpunkt der Strecke $a,b$ und dem Mittelpunkt der Strecke $c,d$.
Die Rotation um eine Kante ist kein Element der Symmetriegruppe. Die Abbildung muss nämlich Ecken auf Ecken abbilden (Isometriegruppe)
(Wegen der Freischaltung der Grafik: Die habe ich selber mit TikZ erstellt)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Rotation um die Achse PQ?
> Wie soll das aussehen.
> Die Rotation um eine Achse ist kein Element der
> Symmetriegruppe. Die Abbildung muss nämlich Ecken auf
> Ecken abbilden (Isometriegruppe)
Hallo wieschoo,
hier hast du bestimmt Rotation um eine Tetraeder-
kante als Achse gemeint. Da käme natürlich nur die
triviale Rotation mit dem Drehwinkel 0 (oder meinet-
wegen [mm] z*2\pi [/mm] ) in Frage. Du hast aber ja schon Achsen
angegeben (durch zwei gegenüber liegende Kanten-
mittelpunkte), für die Drehungen um [mm] z*\pi [/mm] (also
auch halbe Umdrehungen) in Frage kommen.
Da wir aber ohnehin Spiegelungen auch brauchen,
würde ich hier auch lieber direkt von Spiegelungen
ausgehen, aus welchen man ja auch Rotationen
aufbauen kann.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 10.11.2013 | | Autor: | wieschoo |
Da hast du zu 100% Recht! Habs geändert.
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> Hab mir mal ein Tetraeder aus Strohhalmen nachgebaut
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") super !
> und dies ergab folgendes :
>
> [mm]H=\{\sigma \in Sym(T)\ |\ \sigma(\{P,Q\}) = \{P,Q\}\}.[/mm]
>
> Also [mm]\sigma_{1}[/mm] = id ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies ist natürlich keine Spiegelung, sondern erst
mal das neutrale Element der Gruppe.
> [mm]\sigma_{2}(P)=Q[/mm]
> [mm]\sigma_{2}(Q)=P[/mm]
> [mm]\sigma_{2}(R)=S[/mm]
> [mm]\sigma_{2}(S)=R[/mm]
Diese Abbildung ist auch keine Ebenenspiegelung,
sondern eine Rotation um 180° um die Achse
durch die Mittelpunkte [mm] M_{PQ} [/mm] von [mm] \overline{PQ} [/mm] und [mm] M_{RS} [/mm] von [mm] \overline{RS}
[/mm]
Diese Rotation brauchen wir aber gar nicht als
erzeugendes Element der Gruppe.
Nimm mal dein Stroh-Tetraeder und bezeichne
die Eckpunkte P,Q,R,S sowie die zwei Kanten-
mittelpunkte [mm] M_{PQ} [/mm] und [mm] M_{RS} [/mm] .
Nun bezeichnen wir die Ebene durch die 3
Punkte P,Q und [mm] M_{RS} [/mm] mit [mm] E_1 [/mm] und die Ebene
durch [mm] M_{PQ} [/mm] , R und S mit [mm] E_2. [/mm] Und nun
definieren wir [mm] \sigma_1 [/mm] als die Spiegelung an [mm] E_1
[/mm]
und [mm] \sigma_2 [/mm] als die Spiegelung an [mm] E_2 [/mm] .
Nun schau dir an, was diese Spiegelungen machen:
[mm] \sigma_1 [/mm] vertauscht nur R und S und belässt P und Q
an Ort und Stelle.
[mm] \sigma_2 [/mm] vertauscht nur P und Q und belässt R und S
an Ort und Stelle.
Diese beiden Elemente [mm] \sigma_1 [/mm] und [mm] \sigma_2 [/mm] erzeugen die
Gruppe aller Selbstabbildungen, bei welchen
der Pfeil (gerichtete Strecke) [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] entweder in
sich selbst oder aber in [mm] \overrightarrow{QP} [/mm] übergeht.
Dies sind jetzt erst 2 der insgesamt 4 Gruppenele-
mente. welches sind die übrigen ?
Ich würde dir empfehlen, für die Gruppe eine
Gruppentafel (Multiplikationstabelle) aufzustellen.
Dann noch eine kleine Frage: ist diese Gruppe
kommutativ ?
Und noch eine: wie wird die Rotation, die du oben
mit [mm] \sigma_2 [/mm] bezeichnet hast, bezeichnen wir sie jetzt
lieber neu als [mm] \rho [/mm] (für "Rotation"), nun durch die neu
definierten Spiegelungen [mm] \sigma_1 [/mm] und [mm] \sigma_2 [/mm] dargestellt ?
(mit dem Modell kannst du dir dies gut veranschau-
lichen !)
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Topologe |
Hi
Gut, mit vier Elementen in H würde die Aufgabenstellung auch mehr Sinn ergeben^^
Also dann würde ich [mm] \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4} [/mm] wie folgt definieren:
[mm] \sigma_{1} [/mm] = Identität als neutrales Element der Gruppe
[mm] \sigma_{2}(P)=P
[/mm]
[mm] \sigma_{2}(Q)=Q
[/mm]
[mm] \sigma_{2}(R)=S
[/mm]
[mm] \sigma_{2}(S)=R
[/mm]
[mm] \sigma_{3}(P)=Q
[/mm]
[mm] \sigma_{3}(Q)=P
[/mm]
[mm] \sigma_{3}(R)=R
[/mm]
[mm] \sigma_{3}(S)=S
[/mm]
Und da schließlich gilt [mm] \sigma(\{P,Q\}=\{P,Q\} [/mm] muss für [mm] \sigma_{4} [/mm] gelten:
[mm] \sigma_{4}(P)=Q
[/mm]
[mm] \sigma_{4}(Q)=P
[/mm]
[mm] \sigma_{4}(R)=S
[/mm]
[mm] \sigma_{4}(S)=R [/mm]
Irgendwie finde ich leider kein anders [mm] \sigma [/mm] mit den o.g. Anforderungen, da ja schließlich [mm] \{P,Q\} [/mm] wieder in [mm] \{P,Q\} [/mm] landen müssen :-(
Kommutativität müsste soweit gelten. [mm] \sigma_{1}\circ\sigma_{2}=\sigma_{2}\circ\sigma_{1}
[/mm]
[mm] \sigma_{1}\circ\sigma_{3}=\sigma_{3}\circ\sigma_{1}
[/mm]
[mm] \sigma_{1}\circ\sigma_{4}=\sigma_{4}\circ\sigma_{1}
[/mm]
[mm] \sigma_{2}\circ\sigma_{3}=\sigma_{3}\circ\sigma_{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{2}\circ\sigma_{4}=\sigma_{4}\circ\sigma_{2}
[/mm]
[mm] \sigma_{3}\circ\sigma_{4}=\sigma_{4}\circ\sigma_{3}
[/mm]
Joah, und [mm] \sigma_{4} [/mm] könnte folgendermaßen geschrieben werden:
[mm] \sigma_{4}=\sigma_{2}\circ\sigma_{3}
[/mm]
Aber das wäre doch nicht schlimm oder?
Und somit wäre H und [mm] V_{4} [/mm] isomorph, da die Mengen gleichmächtig sind, es eine bijektive Abbildung f:H [mm] \rightarrow V_{4} [/mm] gibt mit
[mm] \sigma_{1} \mapsto [/mm] (0,0)
[mm] \sigma_{2} \mapsto [/mm] (1,0)
[mm] \sigma_{3} \mapsto [/mm] (0,1)
[mm] \sigma_{4} \mapsto [/mm] (1,1)
und da H und [mm] V_{4} [/mm] die gleiche Struktur haben mit [mm] \sigma_{i}=\sigma_{i}^{-1} [/mm] (i [mm] \in \{1,2,3,4\}) [/mm] und [mm] (i,j)=(i,j)^{-1} [/mm] (i,j [mm] \in \{0,1\})
[/mm]
Könnte man das so in etwa schreiben?
LG
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Hallo Topologe,
du hast noch nicht ganz erfasst, was ich mit meiner
Definition der zwei Spiegelungen [mm] \sigma_1 [/mm] und [mm] \sigma_2
[/mm]
bezweckte. Diese beiden Spiegelungen erzeugen die
gesamte Gruppe, die insgesamt 4 Elemente besitzt,
nämlich:
[mm] $\sigma_1$
[/mm]
[mm] $\sigma_2$
[/mm]
$\ id\ =\ [mm] \sigma_1 \circ \sigma_1\ [/mm] =\ [mm] \sigma_2 \circ \sigma_2$
[/mm]
[mm] $\rho\ [/mm] \ =\ [mm] \sigma_1 \circ \sigma_2\ [/mm] =\ [mm] \sigma_2 \circ \sigma_1$
[/mm]
Alle Elemente der Gruppe lassen sich in der Form
[mm] $\sigma_1^{\ a}\circ \sigma_2^{\ b}$
[/mm]
darstellen, wobei man für a sowohl als für b jeweils
einen Wert aus [mm] $\{0,1\}$ [/mm] (oder, wenn du willst, auch
aus [mm] $\{1,2\}$ [/mm] ) auswählen kann. Damit wird auch die
Struktur der Gruppe, die zu [mm] $\IZ_2\, \times\, \IZ_2$ [/mm] isomorph
ist, deutlich.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Do 14.11.2013 | | Autor: | Topologe |
Achso, vielen Dank für die Antwort
LG,
Topologe
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