Kleinische Vierergruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Di 09.05.2006 | | Autor: | chatty |
| Aufgabe 1 | Zeige: Kleinische Vierergruppe [mm] \cong [/mm] C2 x C2!
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| Aufgabe 2 | | Zeige: G x H ist abelsch [mm] \gdw [/mm] G und H sind abelsch. |
| Aufgabe 3 | | Ist f: [mm] G\toH [/mm] Homomorphismus und n di Ordnung von [mm] g\inG, [/mm] was kann über die Ordnung von f(g) in H gesagt werden? |
1Frage: Muss ich eine Gruppentafel aufstellen und hat es etwas mit zyklischen Gruppen zu tuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
2Frage: Bei Auf. 2 weiss ich nicht weiter, habe alles probiert. Doch ich weiss nicht, wie ich anfangen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
3Frage: Das verstehe ich überhaupt nicht, aber ich brauche dringend die Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo chatty!
Zu deinen Fragen:
1. Ich weiß nicht, wie ihr die Kleinsche Vierergruppe eingeführt habt? Durch eine Gruppentafel eventuell? Oder dass sie die kleinste nicht-zyklische Gruppe ist? Wenn du die Gruppentafel gegeben hast, könntest du versuchen, die Gruppentafel von (Z/2Z)x(Z/2Z) auch aufzumalen und den Isomorphismus dann explizit anzugeben.
2. Die Elemente von GxH haben alle die Form (g,h) mit g aus G und h aus H. Die Multiplikation ist so definiert: (g,h)(g',h'):=(gg',hh') Es gilt nun:
G und H kommutativ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] Für alle g,g' aus G und h,h' aus H gilt gg'=g'g und hh'=h'h [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] Für alle (g,h),(g',h') aus GxH gilt (g,h)(g',h')=(gg',hh')=(g'g,h'h)=(g',h')(g,h) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] GxH ist kommutativ.
3. Weißt du, wie die Ordnung eines Elements g definiert ist? Es ist die kleinste natürliche Zahl n, sodass [mm] $g^n=e$ [/mm] ist (e ist das neutrale Element in G). Nun hast du einen Gruppenhomomorphismus f:G->H gegeben und sollst etwas über die Ordnung von f(g) aussagen, d.h. über die kleinste natürliche Zahl m, für die [mm] $f(g)^m=e'$ [/mm] gilt (e' ist das neutrale Element in H). Zunächst gilt ja schonmal [mm] $f(g)^n=f(g^n)=f(e)=e'$, [/mm] also weißt du, dass [mm] $m\leq [/mm] n$ gelten muss. Genauer gilt: m teilt n, was man wie folgt beweisen kann: Teile n durch m mit Rest: es existieren nat. Zahlen s und r, wobei [mm] $0\leq [/mm] r<m$, mit n=sm+r. Dann bekommst du:
[mm] $e'=f(g)^n=f(g)^{sm+r}=(f(g)^m)^sf(g)^r=e'^sf(g)^r=e'f(g)^r=f(g)^r$, [/mm] also [mm] $f(g)^r=e'$ [/mm] Falls nun [mm] $r\neq0$ [/mm] wäre, dann wäre r eine kleinere natürliche Zahl als m, für die [mm] $f(g)^r=e'$ [/mm] gilt. Dies ist aber ein Widerspruch zur Minimalität von m, also muss r=0 gelten. Somit hast du n=sm, also m teilt n.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 10.05.2006 | | Autor: | chatty |
| Aufgabe | | Kleinsche Vierergruppe [mm] \cong [/mm] C2 x C2 |
Dankeschön für die Antworten, doch eine Frage habe ich noch: Ich habe die Tafeln aufgestellt, wie zeige ich jetzt noch den Isomorphismus ( Ich weiß was die Bedingungen sind, doch ich komme nicht weiter
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Hi Chatty,
Ich würde sagen: Gib den Isomorphismus einfach an :)
Wie macht man das? Gute Frage...
Du hast eine Gruppe $ G = [mm] \{ e,a,b,c \}$ [/mm] was deine Kleinsche Vierergruppe ist. Du weißt, dass in dieser Gruppe 'Quadrate' stehts $ e $ sind.
Dann hast du noch deine andere Gruppe der Ordnung 2, die als kartesisches Produkt verbunden sind.
Was fällt einem dazu ein? Möglicherweise kann es Sinn machen entsprechende Tupel zu betrachten.
Sei $ C = [mm] \{ e,a \} [/mm] $ , wobei $ e $ natürlich das neutrale Element ist.
Jetzt weißt du jedem Element aus deiner Kleinschen Vierergruppe ein Tupel aus dem kartesischen Produkt von $ [mm] C_{2} [/mm] $ mit sich selbst zu.
Etwa so:
e [mm] \mapsto [/mm] (e,e)
a [mm] \mapsto [/mm] (a,e)
b [mm] \mapsto [/mm] (e,a)
c [mm] \mapsto [/mm] (a,a)
So in der Art würde ich mir das vorstellen. Dann bleibt zu zeigen, dass diese Abbildung die Eigenschaften eines Homomorphismus erfüllt (also verknüpfungstreu ist) und zudem bijektiv ist.
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass dir das hilft
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