Kleine Zusatzfrage zu Achsensymmetrie gebr.-rationaler Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe noch eine Zusatzfrage zur Achsensymmetrie zur y-Achse
bei gebrochen rationalen Funktionen.
Bewiesen haben wir:
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Wenn Zähler und Nenner beide gerade Funktionen sind (oder beide ungerade),
ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nun habe ich versucht zu überlegen, ob auch die Umkehrung gilt:
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Jede zur y-Achse achsensymmetrische gebr.rationale Funtion ist so aufgebaut,
daß Zähler und Nenner entweder beide gerade oder beide ungerade Funktionen sind.
Dann würde man nämlich die Berechnung mit f(x)=f(-x) vermeiden.
Allerdings habe ich Gegenbeispiele (wenn auch triviale) gefunden:
f(x) = (x²+x) / (x²+x) = 1 oder g(x) = (2x²+2x) / (x²+x) = 2
Hier habe ich unsymmetrische Funktionen, deren Quotient symmetrisch (zur y-Achse) ist.
Die Umkehrung der Regel scheint also nicht zu gelten.
Das heißt ja dann für die Praxis: Wenn ich eine gebr.-rat. Funktion habe, die im Zähler und/oder im Nenner ein unsymmetrisches Polynom habe, dann muß ich die Achsensymmetrie trotzdem nochmal mit der Formel f(x) = f(-x) überprüfen. Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Di 04.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Ahnungsloser
ich bin mir nicht so sicher, ob die Funktion wirklich, im strengsten Sinne, symmetrisch ist.
[mm]\bruch{x^2+x}{x^2+x}[/mm]
ist nämlich für die Punkte [mm]x=-1[/mm] und [mm]x=0[/mm] gar nicht definiert, im Punkt [mm]x=1[/mm] aber schon.
Das erkennst du zum Beispiel auch, wenn du
[mm]f(x) = \bruch{x^2-1}{x^4+x^2+1}[/mm]
mit [mm](x-1)[/mm] erweiterst:
[mm]f(g) = \bruch{(x^2-1)*(x-1)}{(x^4+x^2+1)*(x-1)} = \bruch{x^3-x^2-x+1}{x^5-x^4+x^3-x^2+x-1} [/mm]
Diese Funktion scheint, wenn man ihren Graphen betrachtet, gerade zu sein. In Wirklichkeit ist sie es aber nicht, weil [mm]g(1)[/mm] nicht definiert ist, wohl aber [mm]g(-1)[/mm]. Somit gilt auch nicht:
[mm]g(1) = g(-1)[/mm]
aber:
[mm]f(1) = f(-1)[/mm]
...ein weiteres Beispiel dafür, dass Graphen keine Beweise sind! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Di 04.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Ahnungsloser,
was ich auch noch sagen wollte: Die rationale Funktion sollte schon vollständig gekürzt sein, bevor man diese Symmetrieüberlegungen macht.
Durch Erweiterung der rationalen Funktion mit $(x-1)$ kann man ja schließlich jede Symmetrie des Zählers und Nenners zerstören.
Ich bin mir noch nicht sicher, ob deine Behauptung stimmt:
Vor.: [mm] $f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)}$, [/mm] $g(x),h(x)$ teilerfremde Polynomfunktionen
Beh.: $f(x)$ symmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $g(x)$ symmetrisch und $h(x)$ symmetrisch.
(Mit symmetrisch meine ich jeweils punkt- bzw. achsensymmetrisch zum Ursprung bzw. zur y-Achse).
"Vom Gefühl her" würde ich sagen, es stimmt, ich hatte aber noch nicht die Muße, es zu zeigen, aber du hast uns ja eine Woche Zeit gegeben 
Alles Gute,
Marc
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