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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Vergil |
Hallo,
in der Vorlesung wurde folgende Ungleichung verwendet
[mm] (a+b)^p \le 2^p \cdot ( a^p + b^p) [/mm] und [mm] a, b \in \IR [/mm]
Mir ist nicht ganz klar für welche p diese Ungleichung gilt. Kennt jemand diese Ungleichung?
Für [mm] p \ge 1 [/mm] könnte ich die Ungleichung folgendermaßen beweisen:
Aus der Ungleichung zwischen Potenzmitteln folgt
[mm] \bruch{a+b}{2} \le \wurzel[p]{\bruch{a^p +b^p}{2}} [/mm] und durch potenzieren
[mm] \left( \bruch{a+b}{2} \right)^p \le \bruch{a^p +b^p}{2} < a^p + b^p[/mm]
und dann hätte man
[mm] (a+b)^p < 2^p \cdot ( a^p + b^p) [/mm] , aber dann würde sogar strikte Ungleichheit gelten.
Kann man den Geltungsbereich für andere p erweitern? Habe ich einen Fehler im Beweis?
Danke für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 23.11.2008 | | Autor: | Vergil |
Hallo,
wer hat die Frage denn beantwortet oder warum hat sich der Status geändert?
Gruß
Vergil
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> in der Vorlesung wurde folgende Ungleichung verwendet
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> [mm](a+b)^p \le 2^p \cdot ( a^p + b^p)[/mm] und [mm]a, b \in \IR[/mm]
>
> Mir ist nicht ganz klar für welche p diese Ungleichung
> gilt. Kennt jemand diese Ungleichung?
>
> Für [mm]p \ge 1[/mm] könnte ich die Ungleichung folgendermaßen
> beweisen:
> Aus der Ungleichung zwischen Potenzmitteln folgt
> [mm]\bruch{a+b}{2} \le \wurzel[p]{\bruch{a^p +b^p}{2}}[/mm] und
> durch potenzieren
> [mm]\left( \bruch{a+b}{2} \right)^p \le \bruch{a^p +b^p}{2} < a^p + b^p[/mm]
das strenge "<" ist hier falsch (z.B. für a=b= 0) . Schreibe also [mm] "\le"
[/mm]
FRED
> und dann hätte man
> [mm](a+b)^p < 2^p \cdot ( a^p + b^p)[/mm] , aber dann würde sogar
> strikte Ungleichheit gelten.
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> Kann man den Geltungsbereich für andere p erweitern? Habe
> ich einen Fehler im Beweis?
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> Danke für die Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Vergil |
Danke FRED,
hast recht, hätte ich mir auch selber überlegen können. Hier habe ich noch einen weiteren Beweis:
Nutze die Konvexität von [mm] x^p [/mm] für [mm] p > 1[/mm]. Dann gilt sicher
[mm] \left( \bruch{a+b}{2} \right)^p \leq \bruch{a^p+b^p}{2} [/mm] oder äquivalent dazu
[mm] (a+b)^p \leq 2^{p-1} \left( a^p + b ^p \right) [/mm]
Gefällt mir so besser. Nochmals danke
Vergil
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