Kleine Aufgabe aus der 10. Stufe!! < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 23:36 Mo 16.08.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
So ich habe mal eine Aufgabe aus der 10 Stufe 2. Runde herausgesucht, ist zwar nicht sehr anspruchsvoll, jedoch sind mir die Aufgaben die hier sonst so behandelt werden etwas zu schwer und man wird auch aus den Beweisen von alleine nicht schlau, wäre dankbar, wenn man mal auch etwas leichtere Aufgaben nehmen könnte wie aus der Regionalrunde 11-13.
So hier die Aufgabe:
Beweisen Sie, dass gilt [mm]\ 1999^1^9^9^9 < (1999!)^2 [/mm]
Ich habe die Aufgabe meiner Meinung nach vollständig gelöst, obwohl ich nicht gerechnet habe, da sich alles logisch erklärt hat.
Ich bin mal auf eure Lösungswege gespannt, Poste meinen nach der ersten Lösung dann auch.
mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Di 17.08.2004 | | Autor: | leaven |
Hallo zwieback86,
um die Zahlen direkt miteinander vergleichen zu können, logarithmiert man beispielsweise die beiden Zahlen zur Basis 10. So errechnet sich die Stellenanzahl der ersten Zahl mit
[mm]1999 \cdot \log_{10} 1999 = 6598{,}324\dots[/mm]
somit eine Zahl mit 6599 Ziffern.
Die Stellenanzahl der zweiten Zahl wäre demnach
[mm]2 \cdot \summe_{n=1}^{1999} \log_{10} n = 11464{,}439\dots [/mm]
was der Größe von 11465 Ziffern entspricht und somit ist die zweite Zahl größer ist als die erste.
Beim Aufstellen einer Wertetabelle wird deutlich, dass immer
[mm]\left(n \cdot \log_{10} n\right) < \left(2 \cdot \summe_{n=1}^{k} \log_{10} n\right)[/mm]
ist. Ich weiß, dass es sich hier um keinen Beweis handelt, aber vielleicht hilft es ja der Board-Gemeinde bei der Suche nach dem exakten Beweis - und ich denke mal wieder viel zu kompliziert... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Gruß
leaven
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Hallo leaven, ich denke der Lösungsweg ist richtig, jedoch ziemlich unschön, aber das zählt ja nicht. Danke wieder etwas gelernt.
So ich werde jetzt meinen Lösungsweg aufzeigen, obwohl er mir ein wenig zu einfach vorkommt:
Man solle also aufzeigen, dass
[mm]\ 1999^1^9^9^9 < (1999!)^2 [/mm] gilt.
Mein erster Schritt, war, dass es logisch sein müsse, dass gilt :
[mm]\ 1999^1^9^9^9 > 1999! [/mm]
Doch es stellt sich die Frage um welchen Faktor
[mm]\ 1999^1^9^9^9 [/mm] größer ist.
Dazu habe ich ebenfalls eine Fakultät zu 1999 gebildet, da ja gilt:
[mm]\ 1999^1^9^9^9 [/mm] = 1999 * 1999 * 1999 und das ganze mit 1999 Faktoren. Soweit verstanden?
man erkennt also sofort 1999 * 1999 ... * 1999 unterscheidet sich von 1999! durch die Faktoren 1998, 1997, 1996 ... 1.
Es ist ersichtlich, dass es sich dabei um 1998! handelt.
Man kann also schreiben:
[mm]\ 1999^1^9^9^9 = 1999!*1998![/mm]
Somit ist dann auch die Ausgangsbedingung bewiesen die dann lautet:
[mm]\ 1999!*1998! < 1999!*1999! [/mm]
Was haltet ihr von meinem Lösungsvorschlag, es viel mir schwer zu erklären, wie ich [mm]\ 1999^1^9^9^9 [/mm] umgeformt habe.
Würde mich noch über andere Lösungen freuen.
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Di 17.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Zwieback!
Ich denke nicht, dass deine Begründung stimmt.
Der Fehler liegt meiner Ansicht nach in
"
$ \ [mm] 1999^1^9^9^9 [/mm] $ = 1999 * 1999 * 1999 und das ganze mit 1999 Faktoren. Soweit verstanden?
man erkennt also sofort 1999 * 1999 ... * 1999 unterscheidet sich von 1999! durch die Faktoren 1998, 1997, 1996 ... 1.
Es ist ersichtlich, dass es sich dabei um 1998! handelt.
Man kann also schreiben:
$ \ [mm] 1999^1^9^9^9 [/mm] = [mm] 1999!\cdot{}1998! [/mm] $
"
Das stimmt so nicht. Würdest du die Faktoren 1998,1997,...,1 auf 1999 bringen wollen, so würde du den Faktor $i$ mit [mm] $\frac{1999}{i}$ [/mm] multiplizieren müssen. Was du allerdingsmachst stimmt nicht. Nach deiner Begründung müsste ja z.B. auch [mm]4^4=256[/mm] mit [mm]4!\cdot 3!=24\cdot 6=144[/mm] übereinstimmen, was offensichtlich nicht korrekt ist.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zwieback86!
> So ich werde jetzt meinen Lösungsweg aufzeigen, obwohl er
> mir ein wenig zu einfach vorkommt:
>
> Man solle also aufzeigen, dass
>
> [mm]\ 1999^1^9^9^9 < (1999!)^2[/mm] gilt.
>
> Mein erster Schritt, war, dass es logisch sein müsse, dass
> gilt :
>
> [mm]\ 1999^1^9^9^9 > 1999![/mm]
>
> Doch es stellt sich die Frage um welchen Faktor
>
> [mm]\ 1999^1^9^9^9[/mm] größer ist.
>
> Dazu habe ich ebenfalls eine Fakultät zu 1999 gebildet, da
> ja gilt:
>
> [mm]\ 1999^1^9^9^9[/mm] = 1999 * 1999 * 1999 und das ganze mit 1999
> Faktoren. Soweit verstanden?
>
> man erkennt also sofort 1999 * 1999 ... * 1999
> unterscheidet sich von 1999! durch die Faktoren 1998, 1997,
> 1996 ... 1.
Das verstehe ich nicht, und so, wie du es weiter unten benutzt, ist die Argumentation hier falsch.
> Es ist ersichtlich, dass es sich dabei um 1998! handelt.
> Man kann also schreiben:
>
> [mm]\ 1999^1^9^9^9 = 1999!*1998![/mm]
>
> Somit ist dann auch die Ausgangsbedingung bewiesen die dann
> lautet:
>
> [mm]\ 1999!*1998! < 1999!*1999![/mm]
>
> Was haltet ihr von meinem Lösungsvorschlag, es viel mir
> schwer zu erklären, wie ich [mm]\ 1999^1^9^9^9[/mm] umgeformt
> habe.
Und mir fiel es schwer bzw. gelang es gar nicht, es zu verstehen.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Di 17.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
[mm]1999^{1999}=(1999!)^2[/mm]
Division durch [mm]1999^2[/mm]
[mm]1999^{1997}=(1998!)^2[/mm]
[mm]1999^{1997}=\prod_{i=2}^{1998}{i\cdot (2000-i)}[/mm]
Nun haben wir auf der linken Seite genau 1997 Faktoren, ebenso auf der rechten.
Bleibt zu zeigen, dass jeder Faktor auf der rechten Seite größer als der auf der linken ist.
Man kann dies sicher vielfach zeigen, ich verwende hier die Analysis zum Beweis:
[mm]f(x)=x(1999+1-x)[/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x)=2000-x-x=2000-2x[/mm]
[mm]2000-2x=0[/mm]
[mm]\gdw x=1000[/mm]
Soll heißen, der Extrempunkt liegt bei [mm]i=1000[/mm]. Da aber schon [mm]2\cdot 1998>1999[/mm], ist folglich jeder Faktor größer als [mm]1999[/mm] und somit folgt die Behauptung.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> [mm]1999^{1999}=(1999!)^2[/mm]
> Division durch [mm]1999^2[/mm]
> [mm]1999^{1997}=(1998!)^2[/mm]
> [mm]1999^{1997}=\prod_{i=2}^{1998}{i\cdot (2000-i)}[/mm]
> Nun
> haben wir auf der linken Seite genau 1997 Faktoren, ebenso
> auf der rechten.
Bis auf das Gleichheitszeichen, das wohl nur ein Versehen ist, ist alles Okay.
> Bleibt zu zeigen, dass jeder Faktor auf der rechten Seite
> größer als der auf der linken ist.
>
> Man kann dies sicher vielfach zeigen, ich verwende hier die
> Analysis zum Beweis:
>
> [mm]f(x)=x(1999+1-x)[/mm]
> [mm]\Rightarrow f'(x)=2000-x-x=2000-2x[/mm]
> [mm]2000-2x=0[/mm]
> [mm]\gdw x=1000[/mm]
>
> Soll heißen, der Extrempunkt liegt bei [mm]i=1000[/mm]. Da aber
> schon [mm]2\cdot 1998>1999[/mm], ist folglich jeder Faktor größer
> als [mm]1999[/mm] und somit folgt die Behauptung.
Das ist sehr gut argumentiert (obwohl die Nullstelle der 1. Ableitung kein Extremum sein muß, und ein Extremum muß auch kein Maximum sein), aber der Reiz dieser Aufgaben besteht doch darin, sie mit den Mitteln der jeweiligen Jahrgangsstufe zu lösen. Da gehört Differentialrechnung in diesem Fall nicht unbedingt dazu 
Zum Glück ist f(x) aber eine Parabel, deren Maximum auch ganz einfach durch Scheitelpunktsbestimmung berechenbar ist.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo alle miteinander!
Ich muss sagen, es ist richtig, dass meine Antwort falsch war, keine Ahnung wo ich da mit den Gedanken war.
Deine Lösung scheint richtig zu sein m00xi, ich habe mich trotzdem nochmal rangemacht und eine weitere Lösung herausgefunden, ich hoffe diesmal ist sie richtig.
Ich habe damit begonnen, die Aufgabe umzustellen, so dass
[mm]\bruch{1999^1^9^9^9}{1999!} < 1999! [/mm] zu beweisen ist.
An dieser Stelle nochmal Danke an m00xi, der mich auf die Idee gebracht hat.
Man hat nun auf beiden Seiten gleich viele Faktoren, es ist also zu beweisen, dass auf der rechten Seite jeder Faktor größer ist als auf der linken.
Es gilt weiterhin zu beweise, dass
[mm]\bruch{1999 * 1999 * 1999 .. * 1999}{1999 * 1998 * 1997 .. * 1} < 1 * 2 * 3 .. * 1999 [/mm] gilt.
Man Kann also weiterhin schreiben:
[mm] 1 * (1+ \bruch{1}{1998}) * (1+ \bruch{2}{1997}) .. * 1999 < 1 * 2 * 3 .. * 1999 [/mm]
Zum Schluss muss noch bewiesen werden, dass immer
[mm] \bruch{k}{1999 - k} \le k[/mm] Für [mm] k\in N; k<1999 [/mm] gilt. (Es ist hier nicht notwendig, dass k einen höheren Wert als 1998 annimmt.)
Denn wenn das bewiesen ist, ist auch bewiesen, dass jeder Faktor rechts kleiner als jeder dazugehörige Faktor links ist.
Beweis:
[mm] k \le k (1999-k) [/mm]
Es ist ersichtlich, dass für alle k Die Gleichung erfüllt wird und somit auch die Aufgabenstellung erfüllt ist. Es ist auch wichtig, dass nicht alle Faktoren den gleichen Wert haben dürfen, sonst wäre die Ausgangsgleichung nicht erfüllt, jedoch erkennt man schon beiden ersten k's, dass dies kein Problem darstellt.
So ich hoffe ihr könnt meinen Beweis nachvollziehen und hoffe dass er diesmal auch richtig ist.
Wenn ihr Fragen oder Kritiken habt, schreibt es bitte rein.
mfg. zwieback86
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zwieback86!
> Ich habe damit begonnen, die Aufgabe umzustellen, so dass
>
> [mm]\bruch{1999^1^9^9^9}{1999!} < 1999! [/mm] zu beweisen ist.
>
> An dieser Stelle nochmal Danke an m00xi, der mich auf die
> Idee gebracht hat.
>
> Man hat nun auf beiden Seiten gleich viele Faktoren, es ist
> also zu beweisen, dass auf der rechten Seite jeder Faktor
> größer ist als auf der linken.
>
> Es gilt weiterhin zu beweise, dass
>
> [mm]\bruch{1999 * 1999 * 1999 .. * 1999}{1999 * 1998 * 1997 .. * 1} < 1 * 2 * 3 .. * 1999[/mm]
> gilt.
>
> Man Kann also weiterhin schreiben:
>
> [mm]1 * (1+ \bruch{1}{1998}) * (1+ \bruch{2}{1997}) .. * 1999 < 1 * 2 * 3 .. * 1999[/mm]
>
>
> Zum Schluss muss noch bewiesen werden, dass immer
>
> [mm]\bruch{k}{1999 - k} \le k[/mm] Für [mm]k\in N; k<1999[/mm] gilt. (Es
Inwiefern brächte dich das weiter?
Für k=5 lautet deine Ungleichung beispielsweise [mm] $\bruch{5}{1999 - 5} \le [/mm] 5 $, warum sollte dann auch [mm] $\red{1+}\bruch{5}{1999 - 5} \le [/mm] 5$ gelten?
Korrektur: Das habe ich jetzt mit AT-Colts Hilfe verstanden. Ein Grund also, sich nochmal mit dieser Ungleichung zu beschäftigen; diese müßte meiner Meinung nach noch schlüssiger bzw. überhaupt bewiesen werden (s.u.), da die Schwierigkeit der Aufgabe gerade in dem Beweis einer solchen Ungleichung liegt.
> ist hier nicht notwendig, dass k einen höheren Wert als
> 1998 annimmt.)
Ja, weil man die Ungleichung einfach durch 1999 teilen kann.
> Denn wenn das bewiesen ist, ist auch bewiesen, dass jeder
> Faktor rechts kleiner als jeder dazugehörige Faktor links
> ist.
Siehe oben, das sehe ich mit deiner Argumentation nicht.
> Beweis:
>
> [mm]k \le k (1999-k)[/mm]
>
> Es ist ersichtlich, dass für alle k Die Gleichung erfüllt
Mir ist die anfängliche Aufgabenstellung genauso klar wie jetzt diese Ungleichung.
> wird und somit auch die Aufgabenstellung erfüllt ist. Es
> ist auch wichtig, dass nicht alle Faktoren den gleichen
> Wert haben dürfen, sonst wäre die Ausgangsgleichung nicht
> erfüllt, jedoch erkennt man schon beiden ersten k's, dass
> dies kein Problem darstellt.
Häh?
> So ich hoffe ihr könnt meinen Beweis nachvollziehen und
> hoffe dass er diesmal auch richtig ist.
> Wenn ihr Fragen oder Kritiken habt, schreibt es bitte
> rein.
So richtig schlau bin ich nicht aus deinem Beweis geworden, obwohl ich an mehreren Stellen dachte, dass dort der richtige Gedankengang dahinter steckt, ich aber nur die Formulierung nicht verstehe.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:22 Mi 18.08.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo marc!
Ich werde jetzt erstmal zur Schule gehen und danach meinen Beweis besser formulieren, da ich immernoch der Meinung bin, dass er richtig sei.
mfg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zwieback86!
> Ich werde jetzt erstmal zur Schule gehen und danach meinen
> Beweis besser formulieren, da ich immernoch der Meinung
> bin, dass er richtig sei.
Ja, mit AT-Colts Hilfe habe ich deine Ausführungen etwas mehr verstanden (und meine Antwort entsprechend korrigiert). Ich denke aber weiterhin, dass es sich nicht um einen Beweis der Aufgabe handelt, weil gerade der Beweis einer Ungleichung fehlt bzw. sich mir überhaupt nicht durch deine Ausführungen erschließt. Könntest du mir da etwas entgegen kommen? Ich bestreite ja nicht, dass dir die richtige Beweisidee klar ist, nur hast du sie meiner Meinung nach noch gar nicht aufgeschrieben, weswegen sie mir unklar bleibt.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Mi 18.08.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo marc und die anderen.
Ihr habt ja Recht das meine Beweisführung sehr unübersichtlich und schlecht formuliert ist, deshalb werde ich jetzt nochmal aufschreiben, wie ich den Beweis führen wollte, ich hoffe nun versteht man es besser:
Also nach Umformung ist zu beweisen, dass
[mm]\bruch{1999^1^9^9^9}{1999!} < 1999! [/mm] gilt!
Wir haben also auf beiden Seiten jeweils 1999 Faktoren und es gilt zu beweisen, dass die Faktoren auf der linken Seite kleiner sind als die dazugehörigen Faktoren auf der rechten Seite. Soweit müsste es zu verstehen sein.
Um es besser zu verdeutlichen schreibe ich die Ungleichung so:
[mm]\bruch{1999 * 1999 * 1999 ... * 1999}{1999 * 1998 * 1997 ... * 1} < 1 * 2 * 3 ... * 1999[/mm]
Man erkennt nun auf den ersten Blick, dass 2 Faktoren auf beiden Seiten gleich sind, das sind nämlich:
[mm]\bruch{1999}{1999} = 1 [/mm] und [mm]\bruch{1999}{1} = 1999 [/mm]
Es gilt also nun für mich zu beweisen, dass die restlichen Faktoren auf der linken Seite kleiner sind als die dazugehörigen auf der rechten Seite.
Um es besser zu veranschaulichen müssen folgende Ungleichungen bewiesen werden:
[mm]1 + \bruch{1}{1998} < 2 ; 1 + \bruch{2}{1997} < 3 ; ... ; 1 + \bruch{1997}{2} < 1998[/mm]
Man kann auch schreiben es muss bewiesen werden, dass für alle k=N ; k<1998 folgende Ungleichung gilt:
[mm] \bruch{k}{1999-k} < k [/mm]
Nun stelle ich die Ungleichung einfach um:
[mm] k < k (1999-k) [/mm]
Aufgrund der Definition von k ist für mich ersichtlich, dass die Ungleichung für alle k gilt, und ich denke dazu brauch man auch nicht mehr schreiben, denn eindeutiger gehts ja nicht.
Durch diesen Beweis der Ungleichung mit k, ist bewiesen, dass alle Faktoren auf der linken Seite, mit Ausnahme der 1 und 1999, kleiner sind als die dazugehörigen Faktoren auf der rechten Seite.
Damit muss meiner Meinung nach der Beweis erbracht sein, denn wenn alle Fakoren auf der linken Seite kleiner als die dazugehörigen Faktoren auf der rechten Seite sind, mit Ausnahme der 1 und 1999, die gleich sind, bedeutet dies, dass das Produkt auf der linken Seite kleiner ist als das Produkt auf der rechten Seite.
Somit ist auch die Richtigkeit der Ungleichung bewiesen.
So besser kann ich meinen Beweis nicht formulieren, bitte äußert euch mal dazu. Ich hoffe ihr habt verstanden.
mfg. zwieback86
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 18.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Zwieback.
Mir leuchtet der Beweis nach erstem Durchlesen ein, und schön ist er auch!
Klasse
Gruß,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 19.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zwieback86!
sorry, dass ich mich erst jetzt melde, aber m00xi hatte dir ja schon Bestätigung gegeben, dass der Beweis jetzt nachvollziehbar ist, deswegen ist er bei mir in Vergessenheit geraten.
> Ihr habt ja Recht das meine Beweisführung sehr
> unübersichtlich und schlecht formuliert ist, deshalb werde
> ich jetzt nochmal aufschreiben, wie ich den Beweis führen
> wollte, ich hoffe nun versteht man es besser:
>
> Also nach Umformung ist zu beweisen, dass
>
> [mm]\bruch{1999^1^9^9^9}{1999!} < 1999![/mm] gilt!
>
> Wir haben also auf beiden Seiten jeweils 1999 Faktoren und
> es gilt zu beweisen, dass die Faktoren auf der linken Seite
> kleiner sind als die dazugehörigen Faktoren auf der rechten
> Seite. Soweit müsste es zu verstehen sein.
>
> Um es besser zu verdeutlichen schreibe ich die Ungleichung
> so:
>
> [mm]\bruch{1999 * 1999 * 1999 ... * 1999}{1999 * 1998 * 1997 ... * 1} < 1 * 2 * 3 ... * 1999[/mm]
>
>
> Man erkennt nun auf den ersten Blick, dass 2 Faktoren auf
> beiden Seiten gleich sind, das sind nämlich:
>
> [mm]\bruch{1999}{1999} = 1[/mm] und [mm]\bruch{1999}{1} = 1999[/mm]
>
> Es gilt also nun für mich zu beweisen, dass die restlichen
> Faktoren auf der linken Seite kleiner sind als die
> dazugehörigen auf der rechten Seite.
>
> Um es besser zu veranschaulichen müssen folgende
> Ungleichungen bewiesen werden:
>
> [mm]1 + \bruch{1}{1998} < 2 ; 1 + \bruch{2}{1997} < 3 ; ... ; 1 + \bruch{1997}{2} < 1998[/mm]
>
>
> Man kann auch schreiben es muss bewiesen werden, dass für
> alle k=N ; k<1998 folgende Ungleichung gilt:
>
> [mm]\bruch{k}{1999-k} < k[/mm]
>
> Nun stelle ich die Ungleichung einfach um:
>
> [mm]k < k (1999-k)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , verstanden! 
> Aufgrund der Definition von k ist für mich ersichtlich,
> dass die Ungleichung für alle k gilt, und ich denke dazu
> brauch man auch nicht mehr schreiben, denn eindeutiger
> gehts ja nicht.
Doch, das geht noch eindeutiger:
[mm]k < k (1999-k)[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $1 < 1999-k$
[mm] $\gdw$ [/mm] $1+k < 1999$
[mm] $\gdw$ [/mm] $k < 1998$ (und das ist erfüllt, siehe deine Voraussetzung oben)
> Durch diesen Beweis der Ungleichung mit k, ist bewiesen,
> dass alle Faktoren auf der linken Seite, mit Ausnahme der 1
> und 1999, kleiner sind als die dazugehörigen Faktoren auf
> der rechten Seite.
>
> Damit muss meiner Meinung nach der Beweis erbracht sein,
> denn wenn alle Fakoren auf der linken Seite kleiner als die
> dazugehörigen Faktoren auf der rechten Seite sind, mit
> Ausnahme der 1 und 1999, die gleich sind, bedeutet dies,
> dass das Produkt auf der linken Seite kleiner ist als das
> Produkt auf der rechten Seite.
> Somit ist auch die Richtigkeit der Ungleichung bewiesen.
>
> So besser kann ich meinen Beweis nicht formulieren, bitte
> äußert euch mal dazu. Ich hoffe ihr habt verstanden.
Ja, jetzt verstehe ich ihn auch dann, wenn ich ihn selbst vorher nicht verstanden hätte
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mi 18.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo ihr beiden!
> > Es gilt weiterhin zu beweise, dass
> >
> > [mm]\bruch{1999 * 1999 * 1999 .. * 1999}{1999 * 1998 * 1997 .. * 1} < 1 * 2 * 3 .. * 1999[/mm]
> > gilt.
> >
> > Man Kann also weiterhin schreiben:
> >
> > [mm]1 * (1+ \bruch{1}{1998}) * (1+ \bruch{2}{1997}) .. * 1999 < 1 * 2 * 3 .. * 1999[/mm]
> >
> > Zum Schluss muss noch bewiesen werden, dass immer
> >
> > [mm]\bruch{k}{1999 - k} \le k[/mm] Für [mm]k\in N; k<1999[/mm] gilt. (Es
>
> Inwiefern brächte dich das weiter?
> Für k=5 lautet deine Ungleichung beispielsweise
> [mm]\bruch{5}{1999 - 5} \le 5 [/mm], warum sollte dann auch
> [mm]\red{1+}\bruch{5}{1999 - 5} \le 5[/mm] gelten?
Du hast recht damit, dass zwieback86 hier immer nur den zweiten Summanden in den Faktoren abschätzt, aber das reicht schon.
Bei Deinem Beispiel $k=5$ haben wir bereits den sechsten Faktor, denn es gilt dabei:
$1*(1 + [mm] \bruch{1}{1998})*(1 [/mm] + [mm] \bruch{2}{1997})*...*1999 [/mm] = (1 + [mm] \bruch{0}{1999})*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{1998})*...*(1 [/mm] + [mm] \bruch{1998}{1}) [/mm] = [mm] \produkt_{k = 0}^{1998}(1 [/mm] + [mm] \bruch{k}{1999-k})$
[/mm]
Mit zwieback86´s Abschätzung ergibt sich dann gerade
[mm] $\produkt_{k = 0}^{1998}(1 [/mm] + [mm] \bruch{k}{1999-k}) \le \produkt_{k = 0}^{1998}(1 [/mm] + k) = [mm] \produkt_{k = 1}^{1999}k [/mm] = 1999!$
und da für z.B. $k = 2$ gilt $1 + [mm] \bruch{2}{1997} [/mm] < 1 + 2 = 3$, muss obiges in
[mm] $\produkt_{k = 0}^{1998} [/mm] (1 + [mm] \bruch{k}{1999 - k}) [/mm] < 1999!$ enden und damit gilt
[mm] $1999^{1999} [/mm] < [mm] (1999!)^2$
[/mm]
> > wird und somit auch die Aufgabenstellung erfüllt ist. Es
> > ist auch wichtig, dass nicht alle Faktoren den gleichen
> > Wert haben dürfen, sonst wäre die Ausgangsgleichung nicht
> > erfüllt, jedoch erkennt man schon beiden ersten k's, dass
> > dies kein Problem darstellt.
>
> Häh?
Ist jetzt kein wirklicher Beweis ;)
greetz
AT-Colt
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