Klausurbeweis Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:37 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
sitze hier vor einer Altklausuraufgabe, deren Lösung mir nicht einfallen will:
Sei K ein Körper und n [mm] \in \IN. [/mm] Sei [mm] \alpha: [/mm] V--> V
ein Endomorphismus eines n-dimensionalen K-Vektorraums V . Für m [mm] \in \IN [/mm] bezeichne [mm] \alpha^{m}: [/mm] V --> V die m-fache Hintereinanderausführung von [mm] \alpha.
[/mm]
Weiter seien [mm] U_{m} [/mm] = [mm] Kern( \alpha^{m}) [/mm] und [mm] W_{m} [/mm] = [mm] Bild( \alpha^{m}).
[/mm]
(a) Zeigen Sie: {0} [mm] \subseteq U_{1} \subseteq U_{2} [/mm] . . . [mm] \subseteq U_{n}.
[/mm]
(b) Zeigen Sie weiter: [mm] U_{n} [/mm] = [mm] U_{n+1} [/mm] = . . . = [mm] U_{2n} [/mm] = . . ..
c) und d) habe ich erst mal weggelassen.
Teil a) ist leicht, da nach einem mal Anwenden von [mm] \alpha [/mm] die Null entsteht, die dann stets aufs neue auf Null abgebildet wird.
Bei Teil b) muss man nun zeigen:
Ist v [mm] \in Kern(\alpha^{n+1}), [/mm] so ist v [mm] \in Kern(\alpha^{n}). [/mm] Mit a) wäre dann die Gleichheit der Kerne gezeigt.
Ich weiß aber beim besten Willen nicht, wie ich das anstellen soll. Habe im Netz höchstes einen Beweis gefunden, bei dem dabei die weitere Voraussetzung [mm] \alpha^{2}=\alpha [/mm] oder aber [mm] Kern(\alpha)\cap Bild(\alpha)={0} [/mm] gegeben war...
Kann ja nicht so schwer sein, ist eine Klausuraufgabe.
Hoffe auf Tipps.
Jellal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:10 Sa 22.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) du hast nur gesagt, dass 0 in allen U ist aber nicht [mm] U1\subseteq U2......\subseteq U_n
[/mm]
und warum "entsteht" die 0 durch [mm] \apha?
[/mm]
zu b) es könnte auch schon ab 2 anfangen . aber spätestens bei n, weil n die Dimension des VR ist. überlege warum.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo,
a) Sei [mm] v\in [/mm] Kern [mm] \alpha^{k} [/mm] mit [mm] k\in \IN [/mm] beliebig.
Dann gilt [mm] v\alpha^{k+1}=v\alpha^{k}\alpha =0\alpha=0 [/mm] --> [mm] v\in [/mm] Kern [mm] \alpha^{k+1}.
[/mm]
Ausgenutzt wurde die Assoziativität von linearen Abbildungen.
b) Erstmal hast du mir einen Denkfehler genommen, ich erkenne jetzt erst, dass n nicht beliebig sondern die Dimension des Vektorraumss sein soll.
Aber selbst damit komm ich nicht zum Schluss.
Idee: Aus Dimensionsformel folgt: dim [mm] U_{i}\le [/mm] n f.a. [mm] i\in \IN.
[/mm]
Hat Ist dim [mm] U_{n}=n, [/mm] so ist auch dim [mm] U_{n+1}=n, [/mm] also [mm] U_{n}=U_{n+1}. [/mm] Denn das [mm] U_{n} \subseteq U_{n+1} [/mm] ist, wurde bereits gezeigt. In [mm] U_{n+1} [/mm] kann aber aufgrund der Dim.formel kein weiterer lin. unabh. Vektor liegen.
Jetzt muss ich nur zeigen, dass dim [mm] U_{n}=n [/mm] ist... Aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Jetzt muss ich nur zeigen, dass dim $ [mm] U_{n}=n [/mm] $ ist... Aber wie?
das wirst du nicht zeigen können.
Nimm beispielsweise den Vektorraum aller Polynome von höchstens n-tem Grad und als Abbildung [mm] \alpha [/mm] die formale Ableitung [mm] \alpha [/mm] (p)=p' .
Du zeigst, dass wenn die Anwendung von [mm] \alpha [/mm] die Dimension von [mm] U_k [/mm] einmal gleich lässt, dann bleibt sie auch in allen folgenden Anwendungen gleich; andereseits kann sie höchstens n mal abnehmen, bis der Nullraum erreicht ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo Sax,
dein Beispiel sagt mir, dass die Dimension eines Unterraums höchstens n mal abnehmen kann (logisch, wenn der UR die maximale Dimension von n hat).
Aber wie zeig ich denn, dass wenn sie einmal gleich bleibt, immer gleich bleibt?
Und auch dann muss ich doch zeigen, dass dum [mm] U_{n}=n [/mm] ist, weil die Gleichheit laut Aufgabe ja spätestens da anfängt, was für mich heißt, dass spätestens da die volle Dimension erreicht ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
entschuldigung, ich habe mich da ziemlich vertan. Ich habe W gemeint und U geschrieben. (dim U kann nur zunehmen, dim W nur abnehmen, hoffe dass das jetzt stimmt.)
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also [mm] $\text{dim}(U_n)=n$ [/mm] gilt nicht im Allgemeinen, wie schon angedeutet wurde. Zum Beispiel, wenn dein Endomorphismus die Identität ist.
Was du aber zeigen willst, ist richtig, also wenn die Kerne einmal gleich sind, dann immer. Sei also [mm] $U_i=U_{i+1}$ [/mm] für irgendein $i$. Zeige nun: [mm] $U_{i+1}=U_{i+2}$, [/mm] dann bist du fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Ich weiß nicht, wie ich zeigen soll, dass die gleich sind, wenn zwei vorherige gleich waren.
Auch nicht, dass es erst bei [mm] U_{n} [/mm] anfängt.
Das ist ne Klausuraufgabe und kann nur ein Dreizeiler sein, wenn überhaupt. Bin ziemlich frustriert.
Sei v [mm] \in U_{n+1}.
[/mm]
zz: v [mm] \in U_{n}
[/mm]
Angenommen, dem wäre nicht so.
Dann wäre v [mm] \alpha ^{n+1}=v\alpha^{n}\alpha [/mm] =v' [mm] \alpha=0, [/mm] also [mm] v'=v\alpha^{n}=0, [/mm] also v' [mm] \in [/mm] Kern [mm] \alpha.
[/mm]
Sehe keinen Widerspruch :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Also, die Kerne werden ja immer größer hast du schon gesehen. Sie können aber höchstens n mal wachsen, weil n ja die Vektorraumdimension ist und der Kern höchstens der ganze Vektorraum sein kann. Deshalb kann ab spätestens [mm] U_n [/mm] kein Wachstum mehr auftreten, vielleicht auch schon vorher nicht. Dabei kann [mm] U_n [/mm] (und alle folgenden) dann n-dimensional sein, oder aber auch kleinerdimensional.
Nun reicht es zu zeigen, dass einmaliges gleichbleiben zweier aufeinanderfolgender Kerne die Gleichheit aller folgenden Kerne impliziert.
Sei also [mm] U_i=U_{i+1}. [/mm] Zu zeigen: [mm] U_{i+1}=U_{i+2}.
[/mm]
[mm] U_{i+1}\subseteq U_{i+2}: [/mm] klar, siehe Aufgabe a).
[mm] U_{i+2}\subseteq U_{i+1}: [/mm] Sei [mm] $u\in U_{i+2}$. [/mm] Dann [mm] \alpha^{i+2}(u)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha^{i+1}(\alpha(u))=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha(u)\in U_{i+1}=U_i
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ... jetzt du!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hey nochmal Teufel,
> Also, die Kerne werden ja immer größer hast du schon
> gesehen. Sie können aber höchstens n mal wachsen, weil n
> ja die Vektorraumdimension ist und der Kern höchstens der
> ganze Vektorraum sein kann. Deshalb kann ab spätestens [mm]U_n[/mm]
> kein Wachstum mehr auftreten, vielleicht auch schon vorher
> nicht. Dabei kann [mm]U_n[/mm] (und alle folgenden) dann
> n-dimensional sein, oder aber auch kleinerdimensional.
Hier setzt du allerdings schon voraus, dass die Kerne bei weiteren Anwendungen gleich bleiben, wenn sie bei einer Anwendung einmal gleich geblieben sind.
Sonst könnte es ja sein, dass dim Kern nur bei jeder zweiten Anwendung wächst, und die volle Dimension erst nach 2n Anwendungen erreicht ist.
Das heißt, obiges ist etwas, was aus Deinem Beweis folgen soll... das würde Sinn machen.
> Nun reicht es zu zeigen, dass einmaliges gleichbleiben
> zweier aufeinanderfolgender Kerne die Gleichheit aller
> folgenden Kerne impliziert.
> Sei also [mm]U_i=U_{i+1}.[/mm] Zu zeigen: [mm]U_{i+1}=U_{i+2}.[/mm]
>
> [mm]U_{i+1}\subseteq U_{i+2}:[/mm] klar, siehe Aufgabe a).
>
> [mm]U_{i+2}\subseteq U_{i+1}:[/mm] Sei [mm]u\in U_{i+2}[/mm]. Dann
> [mm]\alpha^{i+2}(u)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha^{i+1}(\alpha(u))=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha(u)\in U_{i+1}=U_i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ... jetzt du!
>
>
Siehst du, da haben wir mein Problem!
Du hast jetzt gezeigt: Ist v [mm] \in U_{i+2}, [/mm] so ist [mm] \alpha(u) [/mm] in [mm] U_{i+1}
[/mm]
Ich will aber doch, dass u SELBST in [mm] U_{i+1} [/mm] ist.
Scheinbar fehlt mir ein grundlegender Fakt...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok, vielleicht wäre es besser mit dem 2. Teil anzufangen. Machen wir den mal zu Ende. Naja aus [mm] $\alpha(u) \in U_i$ [/mm] folgt doch dann [mm] $\alpha^i(\alpha(u))=0=\alpha^{i+1}(u) \Rightarrow [/mm] u [mm] \in U_{i+1}$. [/mm] Das war zu zeigen.
Damit hast du also die Aussage, dass die Kerne immer gleich bleiben, wenn es einmal passiert ist. Im schlimmsten Fall passiert das erst bei [mm] U_n, [/mm] nämlich wenn die Kerne immer um genau eine Dimension größer werden pro Schritt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo Teufel,
ich denke, ich habe es endlich verstanden!
Hier nochmal zusammengefasst:
a) zz: {0} [mm] \subseteq U_{1}\subseteq U_{2} \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq U_{n}
[/mm]
Da die Kerne jeweils Unterräume von V sind, ist 0 [mm] \in U_{i} [/mm] für alle i [mm] \in \IN.
[/mm]
Sei [mm] v\in U_{k} [/mm] \ {0}.
Dann: v [mm] \alpha^{k+1}= [/mm] v [mm] (\alpha^{k} \alpha)= [/mm] (v [mm] \alpha^{k}) \alpha [/mm] = 0 [mm] \alpha [/mm] = 0
--> v [mm] \in U_{k+1}.
[/mm]
--> q.e.d.
b) zz: [mm] U_{n}=U_{n+1}=...
[/mm]
Vorüberlegung:
Aus a) und den UR-Eigenschaften folgt, dass dim [mm] U_{i} \le [/mm] dim [mm] U_{i+1} \le [/mm] n für [mm] i\in [/mm] {1,2,...,n-1}.
Die Dimension des Kerns kann also bei Anwendung der Abbildung bis zu einem Maximalwert anwachsen.
Wird der Maximalwert erreicht, so kann der Kern bei weiterer Anwendung der Abbildung nicht weiter wachsen - er bleibt gleich.
Erreicht die Dimension des Kerns vor n-facher Anwendung den Wert n, folgt für alle weiteren Anwendungen der Abbildung die Gleichheit der Kerne, insbesondere aber gilt [mm] U_{n}=U_{n+1}=...
[/mm]
Erreicht die Dimension des Kerns vor n-facher Anwendung nicht den Wert n, d.h. bei zumindest einer Anwendung bleibt [mm] U_{i}=U_{i+1} [/mm] f. [mm] i\in [/mm] {1,2,...n-1}, so muss gezeigt werden:
Aus [mm] U_{k}=U_{k+1} [/mm] folgt: [mm] U_{k+1}=U_{k+2}.
[/mm]
Wegen a) genügt zu zeigen: Ist [mm] v\in U_{k+2}, [/mm] so ist v [mm] \in U_{k+1}.
[/mm]
Sei also v [mm] \in U_{k+2}, [/mm] also v [mm] \alpha^{k+2}=0.
[/mm]
Dann ist: v [mm] \alpha^{k+2}=v (\alpha \alpha^{k+1}) [/mm] = (v [mm] \alpha)\alpha^{k+1}=0 [/mm] , also [mm] v\alpha \in U_{k+1}=U_{k}.
[/mm]
Ist [mm] v\alpha [/mm] aber in [mm] U_{k}, [/mm] so folgt direkt:
(v [mm] \alpha)\alpha^{k}=v\alpha^{k+1}=0, [/mm] also v [mm] \in U_{k+1}.
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
So gut :)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Also bei der a) musst du nicht zwischen $v=0$ oder [mm] $v\not=0$ [/mm] unterscheiden!
Und bei der b) würde ich vielleicht wirklich so anfangen, dass "wenn einmal gleich, immer gleich" gilt und dass man die Gleichheit zweier benachbarter Kerne höchstens bis zu [mm] U_n [/mm] und [mm] U_{n+1} [/mm] hinauszögern kann, denn falls [mm] $U_0 \subset U_1 \subset \ldots$ [/mm] gilt, so hast du [mm] dim(U_0)
Ich glaub das so zu argumentieren ist die sauberste Variante. Ansonsten würde ich nicht über dieses Maximalwert (n) argumentieren weil dieser ja eh nicht angenommen werden muss. Es kann passieren, muss aber nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
> Also bei der a) musst du nicht zwischen [mm]v=0[/mm] oder [mm]v\not=0[/mm]
> unterscheiden!
Stimmt wohl.
> Und bei der b) würde ich vielleicht wirklich so anfangen,
> dass "wenn einmal gleich, immer gleich" gilt und dass man
> die Gleichheit zweier benachbarter Kerne höchstens bis zu
> [mm]U_n[/mm] und [mm]U_{n+1}[/mm] hinauszögern kann, denn falls [mm]U_0 \subset U_1 \subset \ldots[/mm]
> gilt, so hast du [mm]dim(U_0)
> [mm]dim(U_i)\le n[/mm] und weil dim() natürliche Zahlen sind,
> können die Dimensionen immer nur mindestens um 1 pro
> Schritt steigen, dh. nach [mm]U_n[/mm] ist Schluss.
Ist das so?
Das mit dem Maximalwert n habe ich eingebracht, weil ich mir dachte, dass jener Maximalwert auch vor [mm] U_{n} [/mm] erreicht werden könnte.
Kann doch sein, dass bei einer Abbildungsanwendung ZWEI linear unabh. Vektoren hinzukommen, und sich demnach die Dim um 2 erhöht, oder irre ich da?
> Ich glaub das so zu argumentieren ist die sauberste
> Variante. Ansonsten würde ich nicht über dieses
> Maximalwert (n) argumentieren weil dieser ja eh nicht
> angenommen werden muss. Es kann passieren, muss aber nicht.
Aber vom Prinzip her ists ok, gell?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Ja, die Dimension kann auch um 2 springen, aber dann theoretisch auch gleich bleiben. Also dass du folgende Dimensionen hast:0,2,2,2,2,... du musst also am Ende ein n als Dimension haben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Ja, darauf wollte ich hinaus :)
Ich danke Dir für Deine Mühe!
Bin froh, dass ich es jetzt verstanden habe, hoffentlich hilft mir das in der Klausur.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem! Und viel Glück und Erfolg beider Klausur dann. :) Wenn du noch Fragen hast, dann schieß los, willst du Aufgabe c) und d) auch noch machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Will ich, allerdings muss ich sie mir erst selbst nochmal ansehen und schauen, ob ich da was hinbekomme.
Aber ich schreibs dann hier in den Thread rein ;)
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Ok,
c) Zeigen Sie: V= [mm] U_{n} \oplus W_{n}
[/mm]
Ich muss also Zeigen:
V= [mm] U_{n}+ W_{n} [/mm] und [mm] U_{n}\cap W_{n} [/mm] = {0}.
Sei [mm] v\in U_{n}\cap W_{n}.
[/mm]
Dann ist: v [mm] \alpha^{n}=0.
[/mm]
Ferner ex. w [mm] \in [/mm] V mit [mm] w\alpha^{n}=v.
[/mm]
--> [mm] v\alpha^{n}=(w\alpha^{n})\alpha^{n}=w \alpha^{2n}=0.
[/mm]
Also [mm] w\in U_{2n}.
[/mm]
Es wurde aber gezeigt, dass [mm] U_{2n}=U_{n}, [/mm] also w [mm] \in U_{n}.
[/mm]
Damit: w [mm] \alpha^{n}=v=0 [/mm] --> v=0.
Sollte stimmen?
Nun muss ich die Gleichheit der Mengen zeigen:
V [mm] \supseteq U_{n}+W_{n}:
[/mm]
Da Kern und Bild jeweils Unterräume und innerhalb V sind, folgt dies sofort aus der Abgeschlossenheit von V bzgl. +.
V [mm] \subseteq U_{n}+W_{n}:
[/mm]
Sei [mm] v\in [/mm] V beliebig.
Ist dim [mm] U_{n}=k\le [/mm] n, so ist dim [mm] W_{n}=n-k.
[/mm]
Der Schnitt beider UR ist {0}.
Demnach muss v entweder in [mm] U_{n} [/mm] oder in [mm] W_{n} [/mm] liegen.
Dann kann man stets schreiben: v= v + 0.
Weiß nicht, ob der letzte Beweis passt^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 So 23.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Jup, also der erste Teil passt. Den zweiten Teil kannst du einfach mit der Dimensionsformel machen und der Tatsache, dass folgendes gilt: Sei $V$ ein n-dimensionaler Vektorraum, [mm] $U\subseteq [/mm] V$ ein Untervektorraum. Falls $dim(U)=dim(V)$, dann gilt $U=V$.
[mm] $U_n\oplus W_n \subseteq [/mm] V$ ist klar, wie du auch richtig gesagt hast. Nun zeige, dass [mm] $dim(V)=dim(U_n\oplus W_n)$ [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Habe ich das hier nicht im Prinzip so ähnlich gemacht?
"
Sei [mm] v\in [/mm] V beliebig.
Ist dim [mm] U_{n}=k\le [/mm] n, so ist dim [mm] W_{n}=n-k. [/mm]
Der Schnitt beider UR ist {0}.
Demnach muss v entweder in [mm] U_{n} [/mm] oder in [mm] W_{n} [/mm] liegen.
Dann kann man stets schreiben: v= v + 0.
"
Du willst glaube ich auf die Dimensionsformel für direkte Summen hinaus, die wir in der Vorlesung leider nicht hergleitet hatten, auf die ich beim Googlen gestoßen bin.
dim [mm] (U_{n} \oplus W_{n})= [/mm] dim [mm] U_{n} [/mm] + dim [mm] W_{n} [/mm] - [mm] dim(U_{n} \cap W_{n})
[/mm]
Da aber [mm] dim(U_{n} \cap W_{n})=dim [/mm] {0}=0, folgt:
dim [mm] (U_{n} \oplus W_{n})= [/mm] dim [mm] U_{n} [/mm] + dim [mm] W_{n} [/mm] = dim V.
--> V= [mm] U_{n} \oplus W_{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:38 So 23.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Hmm die Formel hattet ihr echt nicht? Hattet ihr denn das Folgende:
Sei $V$ ein n-dim. Vektorraum, [mm] $\varphi:V\rightarrow [/mm] W$ eine lineare Abbildung. Dann gilt [mm] $dim(V)=dim(ker(\varphi))+dim(im(\varphi))(=def(\varphi)+rang(\varphi))$. [/mm] Damit kannst du das auch zeigen. Ich denke dass ihr irgendeine dieser Formeln mal irgendwann hattet.
Falls nicht, dann kannst du das aber auch nicht so machen, wie du sagst. $v$ muss nicht in [mm] U_n [/mm] oder [mm] W_n [/mm] liegen! Beispiel: [mm] $V=\IR^2$, \alpha(\vektor{x \\ y})=\vektor{x \\ 0}. [/mm] Dann gilt [mm] U_2=y-Achse, W_2=x-Achse [/mm] und für den Punkt [mm] $(1,1)\in\IR^2$ [/mm] brauchst du dann 2 Punkte ungleich 0 aus [mm] U_2 [/mm] und [mm] W_2.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Hallo Teufel,
die Diemsionsformel im Allgemeinen hatten wir natürlich.
Auch, dass [mm] dim(Im\phi)=Rang \phi [/mm] ist.
Aber [mm] def(\phi) [/mm] wurde nicht definiert, habe gerade gegoogelt und bin darauf gestoßen, dass es wohl der "Defekt" ist... keine Ahnung.
Ich werde einfach diese Formel der direkten Summe in der Klausur einfach benutzen und gut ist, gibt mindestens Teilpunkte.
edit: Ich habe gerade mal einen Blick in ältere Kapitel über Unterräume geworfen: Da hatten wir die Formel für die Summe doch!
Dann passt es ja tatsächlich!
Danke Dir Teufel :)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Frage beantwortet!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 23.03.2014 | | Autor: | Teufel |
Ah ok! Kein Problem. :)
Ja, ich selbst habe auch nie "def" gesehen, aber es ist einfach nur die Dimension des Kerns. Ok, viel Erfolg dann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 So 23.03.2014 | | Autor: | Jellal |
Danke Dir nochmal für deine Mühe!!
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