Klausuraufgabe Polynom 4. Ord. < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Horst |
Hallo zusammen,
die folgende Aufgabe war eine Klausuraufgabe. Wäre super, wenn mir einer von euch sagen könnte, wie ich an sowas rangehen muß.
Diskutieren sie das Polynom 4. Grades mit den Nullstellen:
x1 = 4;
x2 = 1;
x3 = -4;
x4 = -1;
HORST
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Hallo Horst!
So du musst hier die Polynomfunktion mit Hilfe des Satzes von Vieta aufstellen!!
Dieser besagt,dass ein Plynom n-ten Grades max. n reelle Nullstellen(=Lösungen) und genau n komplexe Nullstellen hat,was in deinem Fall nicht wirklich interessant ist!!
So wenn du zum Beispiel die Gleichung x²+px+q=0 hast , dann sind die Lösungen der Gleichung ganz einfach zu berechnen => y,z Lösungen
=> x²+px+q= (x-y)*(x-z)
So und wenn du ein Polynom 4 ten Grades hast stehen halt 4 Terme da!!
=> Dein f(x)= (x-1)*(x-4)*(x+4)*(x+1)= (x²-1)*(x²-16) =
= [mm] x^{4}-16x²-x²+16= x^{4}-17x²+16
[/mm]
Diese Funktion kannst du diskutieren!!!
Mfg daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Horst!
Die Aufgabenstellung ist hier nicht ganz eindeutig.
Wenn Du die o.g. Funktion diskutierst, wirst du die richtigen Extremstellen bzw. Wendestellen erhalten.
Die zugehörigen Funktionswerte (= y-Werte) sind aber nicht eindeutig, da durch die Vorgabe der Nullstellen die Funktion nicht eindeutig beschrieben wird:
$f(x) \ = \ [mm] \red{A \ * \ } (x-x_{N1})*(x-x_{N2})*(x-x_{N3})*(x-x_{N4})$
[/mm]
Dieser Faktor [mm] $\red{A}$ [/mm] stellt die Streckung Deiner Parabel dar.
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Horst |
Ich denke,
das Extrem- und Wendestellen wohl ausreichen. Im Übrigen war das der Wortlaut 1:1 der Klausurfrage.
Danke für die Anmerkung
HORST
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Horst!
Aber auch die Art der Extremstellen sind von unserem Faktor $A$ abhängig, sprich ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt, da das Vorzeichen der 2. und 3. Ableitung auch durch das Vorzeichen von $A$ beeinflußt werden.
Es ist also jeweils eine Fallunterscheidung "$A > 0$" bzw. "$A < 0$" vorzunehmen.
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mi 09.02.2005 | | Autor: | nitro1185 |
genau die Funktion hat allgemein f(x)= [mm] Ax^{4}+bx³+cx²+dx+e
[/mm]
sein => Wenn [mm] x_{1}.....x_{4} [/mm] Lösungen sind => [mm] f(x)=A*(x-x_{1})*....
[/mm]
Manchmal bin ich doch etwas zu voreilig  !!!
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