Klausuraufgabe Basen bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Di 21.03.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | hier ist der link zu den aufgaben:
http://www.math.uni-muenster.de/reine/u/reinekem/ws0506_la1/klausur.pdf
Aufgabe 3 |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute rechne gerade die aufgabe 3 unserer la klausur nach und wollte euch mal fragen, ob die ergebnisse so stimmen.
Ich habe für eine Basis von U raus: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
W : [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
dann für U [mm] \cap [/mm] W habe ich erstmal die Basen von U und W als Linearkombination gleichgesetzt und herausbekommen, dass in der Teilmenge von U und W nur der 0-Vektor liegt und somit die Basis [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Für U+W habe ich [mm] raus:\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, \vektor{ 1\\ -1 \\ 0 \\ 1},\vektor{ 0\\ 1 \\ 0 \\ -1},\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
sind die ergebnisse so richtig?
wäre nett, wenn jemand lust hat sich das mal kurz anzugucken...
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Mi 22.03.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also für U, W und U [mm] \cap [/mm] W sollte das so stimmen. Wie kommst Du auf die Basis von U+W?
Schöne Grüße,
Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
für U+W hatten wir laut Definition, dass man jeden Vektor aus U mit jedem Vektor aus W addiert.
Als Erzeugendensystem von U habe ich [mm] raus\vektor{x \\ y \\ -x \\ -y} [/mm] und als Erzeugendensystem von W habe ich raus [mm] \vektor{a \\ -a \\ b \\ -a}
[/mm]
die habe ich dann einfach addiert zu [mm] \vektor{x+a \\ y-a \\ -x+b \\ -y-a}
[/mm]
und das dann umgeschrieben [mm] zu:x*\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+a*\vektor{ 1\\ -1 \\ 0 \\ -1}+y*\vektor{ 0\\ 1 \\ 0 \\ -1}+b*vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und das ist Lienarkombination einer Basis von U+W oder, als die Vektor ohne die Koeffizienten bilden die Basis [hoffe der Satz ist richtig geschrieben, anstonsten könnt ihr den auch gerne verbesser =)]
Gruß an alle.. Ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo AriR,
> Für U+W habe ich [mm]raus:\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, \vektor{ 1\\ -1 \\ 0 \\ 1},\vektor{ 0\\ 1 \\ 0 \\ -1},\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fällt dir was auf? Deine Basis von [mm]U+W[/mm] ist die Vereinigung der Basen von U und W. Warum? Zunächst sind die 4 Vektoren natürlich ein Erzeugendensystem von [mm]U+W[/mm], da
[mm]\{\vektor{ 0\\ 1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{ 1\\ 0 \\ -1 \\ 0} \}[/mm] eine Basis von U ist
und [mm]\{\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{ 1\\ -1 \\ 0 \\ 1}\}[/mm] eine Basis von W ist .
Es gilt aber: Der Schnitt [mm]U \cap W = \{\vektor{0\\0\\0\\0} \}[/mm],
also sind natürlich die 4 Vektoren linear unabhängig und daher eine Basis von [mm]U+W[/mm]. Diese Argumentation würde übrigens ausreichen, du brauchst gar nicht den Umweg über ein Erzeugendensystem gehen!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Mi 22.03.2006 | | Autor: | AriR |
jo stimmt habe ich gar nicht bedacht =) vielen dank ;)
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