Klausur LA1 2.5 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Für eine positive natürliche Zahl n sei [mm] A=(a_i_j)_i_,_j\in Gl_n(K) [/mm] eine Matrix & [mm] \alpha\in [/mm] K. Wir bezeichnen mit [mm] A(\alpha) [/mm] die Matrix [mm] A(\alpha)=(\alpha^i^+^j a_i_j)_i_,_j\in M_n(K). [/mm] Berechnen sie die Determinante von [mm] A(\alpha) [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] & detA. Ist [mm] A(\alpha) [/mm] stets invertierbar? |
[mm] A(\alpha) [/mm] ist also eine [mm] n\times [/mm] n invertierbare Matrix der Form: [mm] \pmat{\alpha^1^+^1 a_1_,_1 & \alpha^1^+^2 a_1_,_2 & ... & \alpha^1^+^n a_1_,_n \\ \alpha^2^+^1 a_2_,_1 & \alpha^2^+^2 a_2_,_2 & ... & \alpha^2^+^n a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }
[/mm]
also:
[mm] A(\alpha)=\pmat{\alpha^2 a_1_,_1 & \alpha^3 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^1 a_1_,_n \\ \alpha^3 a_2_,_1 & \alpha^4 a_2_,_2 & ... & \alpha^n^+^2 a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }
[/mm]
Und jetzt bin ich mit meinem Latein am ende. Wie soll ich jetzt hier eine Determinante berechen? Ich kann die Matrix nicht in Dreiecksform überführen o.ä. ... oder doch nur sehe ich es nicht? :-[
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 24.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst jede Zeile so mit einer geeigneten Potenz von [mm] \alpha [/mm] multiplizieren, s.d. in jeder Spalte [mm] \alpha [/mm] in der gleichen Potenz vorkommt. Dann musst Du folgenden Satz über Determinaten anwenden
Wird eine Spalte der Matrix A mit einem konstanten Faktor [mm] \lambda [/mm] multipliziert, dann gilt für die Determinante
[mm] \lambda|A|
[/mm]
Als Beispiel sei
[mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und
[mm] A(\alpha)=\pmat{\alpha^2 a & \alpha^3 b \\ \alpha^3 c & \alpha^4 d }
[/mm]
Multiplikation der ersten Zeile von [mm] A(\alpha) [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] ergibt
[mm] B(\alpha)=\pmat{\alpha^3 a & \alpha^4 b \\ \alpha^3 c & \alpha^4 d }
[/mm]
Für die Determinate gilt
[mm] |B(\alpha)|=\alpha|A(\alpha)| [/mm] und andererseits [mm] |B(\alpha)|=\alpha^3\alpha^4|A|
[/mm]
daraus folgt
[mm] |A(\alpha)|=\alpha^6|A|
[/mm]
Für den allgemeinen Fall folgt
[mm] |A(\alpha)|=\alpha^{n(n+1}|A|
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
Wenn ich also die Matrix [mm] A(\alpha)=\pmat{\alpha^2 a_1_,_1 & \alpha^3 a_1_,_2 & \alpha^4 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^1 a_1_,_n \\ \alpha^3 a_2_,_1 & \alpha^4 a_2_,_2 & \alpha^5 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^2 a_2_,_n \\ \alpha^4 a_3_,_1 & \alpha^5 a_3_,_2 & \alpha^6 a_3_,_2 & ... & \alpha^n^+^3 a_3_,_n\\... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }
[/mm]
Zeilenweise mit einer Potenz von [mm] \alpha [/mm] multipliziere und zwar in der Art, dass ich die Potenzen der n-ten Zeile als "zu erreichende" annehme, dann muss ich die n-1-te Zeile mit [mm] \alpha [/mm] multiplizieren die n-2-te mit [mm] \alpha^2 [/mm] usw. also die 1. mit [mm] \alpha^n-1 [/mm] (immer mal [mm] \alpha [/mm] potenziert mit n-Zeilennummer). Dann erhalte ich die Matrix:
[mm] A(\alpha)=\pmat{\alpha^n^+^1 a_1_,_1 & \alpha^n^+^2 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_1_,_n \\ \alpha^n^+^1 a_2_,_1 & \alpha^n^+^2 a_2_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }
[/mm]
Diese besitzt die gleiche Determinante wie oben, da die multiplikation einer Zeile mit einem Wert diese nicht verändert.
Nun multipliziere ich die 1. Spalte mit [mm] \alpha^n^-^1, [/mm] die 2. mit [mm] \alpha^n^-^2, [/mm] usw ... um die Potenz [mm] \alpha^n^+^n [/mm] zu erhalten und habe dann die Matrix:
[mm] B(\alpha)=\pmat{\alpha^n^+^n a_1_,_1 & \alpha^n^+^n a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_1_,_n \\ \alpha^n^+^n a_2_,_1 & \alpha^n^+^n a_2_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^n a_n_,_1 & \alpha^n^+^n a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }
[/mm]
Für [mm] B(\alpha) [/mm] gilt: [mm] \vmat{B(\alpha)} [/mm] = [mm] (\alpha^n^-^1\alpha^n^-^2...\alpha)\vmat{A(\alpha)}
[/mm]
Also: [mm] \vmat{B(\alpha)} [/mm] = [mm] (\alpha^n^-^1\alpha^n^-^2...\alpha)(\alpha^n^+^n)\vmat{A}
[/mm]
Kann ich das jetzt nochmal vereinfachen?
Und danke für den Anstoß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Sa 24.03.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Wenn ich also die Matrix [mm]A(\alpha)=\pmat{\alpha^2 a_1_,_1 & \alpha^3 a_1_,_2 & \alpha^4 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^1 a_1_,_n \\ \alpha^3 a_2_,_1 & \alpha^4 a_2_,_2 & \alpha^5 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^2 a_2_,_n \\ \alpha^4 a_3_,_1 & \alpha^5 a_3_,_2 & \alpha^6 a_3_,_2 & ... & \alpha^n^+^3 a_3_,_n\\... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }[/mm]
>
> Zeilenweise mit einer Potenz von [mm]\alpha[/mm] multipliziere und
> zwar in der Art, dass ich die Potenzen der n-ten Zeile als
> "zu erreichende" annehme, dann muss ich die n-1-te Zeile
> mit [mm]\alpha[/mm] multiplizieren die n-2-te mit [mm]\alpha^2[/mm] usw. also
> die 1. mit [mm]\alpha^n-1[/mm] (immer mal [mm]\alpha[/mm] potenziert mit
> n-Zeilennummer). Dann erhalte ich die Matrix:
> [mm]A(\alpha)=\pmat{\alpha^n^+^1 a_1_,_1 & \alpha^n^+^2 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_1_,_n \\ \alpha^n^+^1 a_2_,_1 & \alpha^n^+^2 a_2_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }[/mm]
>
> Diese besitzt die gleiche Determinante wie oben, da die
> multiplikation einer Zeile mit einem Wert diese nicht
> verändert.
>
Nein, die neue Matrix
[mm] C(\alpha)=\pmat{\alpha^n^+^1 a_1_,_1 & \alpha^n^+^2 a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_1_,_n \\ \alpha^n^+^1 a_2_,_1 & \alpha^n^+^2 a_2_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^1 a_n_,_1 & \alpha^n^+^2 a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }
[/mm]
besitzt die Determinante [mm] |C(\alpha)|=\alpha^{n-1} \cdot \cdot \cdot \alpha|A(\alpha)| [/mm] einerseits und andererseits gilt
[mm] |C(\alpha)|=\alpha^{n+1} \cdot \cdot \cdot \alpha^{n+n} [/mm] |A|
also gilt
[mm] \alpha^{n+1} \cdot \cdot \cdot \alpha^{n+n} |A|=\alpha^{n-1} \cdot \cdot \cdot \alpha|A(\alpha)| [/mm] also
[mm] |A(\alpha)|=\left(\alpha^{\summe_{i=1}^{n}(n+i)-\summe_{i=1}^{n-1}i}\right)|A|=\alpha^{n(n+1)}|A|
[/mm]
> Nun multipliziere ich die 1. Spalte mit [mm]\alpha^n^-^1,[/mm] die
> 2. mit [mm]\alpha^n^-^2,[/mm] usw ... um die Potenz [mm]\alpha^n^+^n[/mm] zu
> erhalten und habe dann die Matrix:
> [mm]B(\alpha)=\pmat{\alpha^n^+^n a_1_,_1 & \alpha^n^+^n a_1_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_1_,_n \\ \alpha^n^+^n a_2_,_1 & \alpha^n^+^n a_2_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_2_,_n \\ ... \\ \alpha^n^+^n a_n_,_1 & \alpha^n^+^n a_n_,_2 & ... & \alpha^n^+^n a_n_,_n }[/mm]
>
> Für [mm]B(\alpha)[/mm] gilt: [mm]\vmat{B(\alpha)}[/mm] =
> [mm](\alpha^n^-^1\alpha^n^-^2...\alpha)\vmat{A(\alpha)}[/mm]
> Also: [mm]\vmat{B(\alpha)}[/mm] =
> [mm](\alpha^n^-^1\alpha^n^-^2...\alpha)(\alpha^n^+^n)\vmat{A}[/mm]
>
ist wie oben ausgeführt nicht notwendig.
> Kann ich das jetzt nochmal vereinfachen?
>
> Und danke für den Anstoß
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
ahsooo *g* ..kay jetzt ist es denk klar ... danke vielmals
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