Klausur LA1 1.9 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:29 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei V ein endlich dimensionaler K-VR & $ [mm] f\in End_K(V). [/mm] $ Es gebe eine natürliche Zahl $ [mm] n\ge [/mm] $ 2 mit der Eigenschaft (det $ [mm] f)^n=0. [/mm] $ Welche Schlussfolgerungen kann man daraus ziehen?
(a) Es gibt eine Zahl $ [mm] N\in\IN [/mm] $ so, dass $ [mm] f^N=0 [/mm] $
(b) f ist nicht surjektiv
(c) Es gibt einen Vektor $ [mm] v\in [/mm] $ V-{0} mit $ [mm] f^n-1(v) [/mm] $ =0
(d) Es gibt eine Basis bezüglich der $ [mm] f^n [/mm] $ durch die Nullmatrix beschrieben wird |
Bei dieser Aufgabe habe ich nicht den geringsten Schimmer von einem Lösungsansatz
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 So 25.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Zerwas!
> Sei V ein endlich dimensionaler K-VR & [mm]f\in End_K(V).[/mm] Es
> gebe eine natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 2 mit der Eigenschaft (det
> [mm]f)^n=0.[/mm] Welche Schlussfolgerungen kann man daraus ziehen?
Bist Du sicher, dass es hier lautet [mm] $(\det f)^n=0$? [/mm] Weil dies doch gleichbedeutend mit [mm] $\det [/mm] f=0$ ist.
> (a) Es gibt eine Zahl [mm]N\in\IN[/mm] so, dass [mm]f^N=0[/mm]
Das ist mMn falsch, z.B. ist [mm] $\pmat{1&0\\0&0}$ [/mm] (=senkrechte Projektion auf x-Achse) ein Gegenbeispiel.
> (b) f ist nicht surjektiv
[mm] $\det [/mm] f=0$ bedeutet ja, dass f nicht bijektiv ist. In einer anderen Deiner Aufgaben hatten wir ja gesehen, dass bei Endomorphismen endlicher Vektorräume injektiv/surjektiv/bijektiv gleichbedeutet ist.
> (c) Es gibt einen Vektor [mm]v\in[/mm] V-{0} mit [mm]f^n-1(v)[/mm] =0
> (d) Es gibt eine Basis bezüglich der [mm]f^n[/mm] durch die
> Nullmatrix beschrieben wird
Das überbliock ich gerade nicht, aber ich bin mir ja auch nicht sicher, ob die Aufgabenstellung stimmt (s.o.)
Viele Grüße,
Marc
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> Hallo Zerwas!
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> > Sei V ein endlich dimensionaler K-VR & [mm]f\in End_K(V).[/mm] Es
> > gebe eine natürliche Zahl [mm]n\ge[/mm] 2 mit der Eigenschaft (det
> > [mm]f)^n=0.[/mm] Welche Schlussfolgerungen kann man daraus ziehen?
>
> Bist Du sicher, dass es hier lautet [mm](\det f)^n=0[/mm]? Weil dies
> doch gleichbedeutend mit [mm]\det f=0[/mm] ist.
Hallo,
und auch gleichbedeutend mit det [mm] f^n=0.
[/mm]
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> > (a) Es gibt eine Zahl [mm]N\in\IN[/mm] so, dass [mm]f^N=0[/mm]
>
> Das ist mMn falsch, z.B. ist [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] (=senkrechte
> Projektion auf x-Achse) ein Gegenbeispiel.
>
> > (b) f ist nicht surjektiv
>
> [mm]\det f=0[/mm] bedeutet ja, dass f nicht bijektiv ist. In einer
> anderen Deiner Aufgaben hatten wir ja gesehen, dass bei
> Endomorphismen endlicher Vektorräume
> injektiv/surjektiv/bijektiv gleichbedeutet ist.
>
> > (c) Es gibt einen Vektor [mm]v\in[/mm] V-{0} mit [mm]f^n-1(v)[/mm] =0
Das bedeutet ja, daß behauptet wird, daß 1 Eigenwert von [mm] f^n [/mm] ist.
Nehmen wir die Abbildung, die durch [mm] A:=\pmat{-1&0\\0&0} [/mm] beschrieben wird.
Es z.B. [mm] A^3 =\pmat{-1&0\\0&0}, [/mm] aber 1 ist kein Eigenwert.
> > (d) Es gibt eine Basis bezüglich der [mm]f^n[/mm] durch die
> > Nullmatrix beschrieben wird
Auch hier taugen die Beispiele von oben als Gegenbeispiele.
Der Rang von [mm] f^n [/mm] ist und bleibt =1.
Gruß v. Angela
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