Klassifizierung einer Fktschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar [mm] f_{k} [/mm] mit [mm] f_{k}(x)=x^{k}e^{-0,5x^{2}} [/mm] mit k [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5...}, [mm] D=\IR
[/mm]
[...]
Klassifizieren Sie die Funktionenschar bezüglich der Extremstellen. Begründen Sie Ihre Klassifizierung durch eine entsprechende Rechnung.
Zwischenergebnisse, die genutzt werden können:
[mm] f_{k}'(x)=(kx^{k-1}-x^{k+1})e^{-0,5x^{2}}
[/mm]
[mm] f_{k}''(x)=x^{k}((k^{2}-k)x^{-2}-2k-1+x^{2})e^{-0,5x^{2}} [/mm] |
Dies ist ein Aufgabenteil aus der Nachschreib Abiturklausur aus Niedersachsen (2006).
Was hier zu zeigen ist, ist klar denke ich. Für alle geraden k hat der Graph der Funktion an der Stelle x=0 eine Extremstelle, für alle ungeraden k hat der Graph der Funktion an der Stelle x=0 einen Wendepunkt (für ungerade k>1 einen Sattelpunkt).
Rechnerisch müsste man jetzt zeigen, dass für alle k (außer k=1) bei x=0 die erste Ableitung den Wert 0 hat, was auch der Fall ist.
Jetzt müsste es ja so sein, dass die zweite Ableitung für gerade k an der Stelle 0 [mm] \not= [/mm] 0 ist. Hier habe ich schon das erste Problem, weil ich vermute, dass die vorgegebene Lösung falsch ist, denn sie ist gar nicht definiert für x=0 (wegen [mm] x^{-2}).
[/mm]
Nun habe ich die zweite Ableitung mal mit Derive gebildet und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] f_{k}''(x)=e^{-0,5x^{2}}x^{k-2}(x^{4}-x^{2}(2k+1)+k(k-1))
[/mm]
Hier gilt doch allerdings auch für alle k>2, dass die zweite Ableitung den Wert 0 hat.
Mir würde an dieser Stelle nur die Möglichkeit einfallen, dass man die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel untersucht. Für alle ungeraden k bildet der erste Faktor der ersten Ableitung ein Polynom mit geraden Exponenten und ohne absolutes Glied, d.h. dass kein Vorzeichenwechsel vorliegt. Der zweite Faktor kann sowieso nur positive Werte annehmen.
Für alle geraden k hat man ein Polynom mit ungeraden Exponenten, d.h. es liegt ein Vorzeichenwechsel vor.
Genügt das an Berechnung oder muss man da noch etwas anderes zeigen?
Der Weg über die zweite Ableitung scheint mir nicht der richtige zu sein...
Vielen Dank!
Patrick
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Hallo!
Deine Überlegungen sind völlig richtig!
Allerdings ist die gegebene 2. Ableitung nicht wirklich nicht definiert. Sie stimmt auch mit deiner eigenen überein; du kannst das [mm] x^{k-2} [/mm] aufspalten in [mm] x^{k}x^{-2}, [/mm] und den zweiten faktor in die Klammer rein ziehen, und dann kommst du auf die gegebene Funktion. Gut, das eine ist für k=1, das andere immer nicht definiert, aber das ist auch nur eine hebbare Definitionslücke.
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