Klassifizieren einer Fläche < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:44 Mo 30.01.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Klassifizieren Sie die Fläche, die im [mm]\IR^3[/mm] gegeben ist durch die Gleichung
[mm]2x^2+8y^2+2z^2+8xy+4xz+8yz+2x+4z=0[/mm] |
Hallo, leider habe ich das Prozedere noch nicht ganz verstanden. Also als erstes muss ich die Kennmatrizen A und I bilden.
mit
[mm]A=\pmat{ 2 & ? & ? \\
? & 8 & ? \\
? & ? & 2}
[/mm] und [mm]I=\pmat{ 2 & ? & ? & ?\\
? & 8 & ? & ? \\
? & ? & 2 & ? \\
? & ? & ? & ?}
[/mm]
leider weiss ich nicht was ich statt der Fragezeichen eintragen soll, vielleicht könnt Ihr mir das näher bringen.
Wenn ich das dann habe, kann ich den Rang der Matrizen bestimmen. Danach kann ich anhand der Formeln in meinem Skript das geommetrische Gebilde benennen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 30.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh erstmal in wiki etwa unter Quadriken und Hauptachsentransformation nach. Eigentlich muss es doch auch in deinem Skropt stehen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mo 30.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Hi, also ich hab da noch etwas gefunden im skript.
Und zwar kann man aus der Gleichung
[mm]a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+b=0 [/mm]
die Matrix
[mm]A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\
a_{12} & a_{22} } [/mm] entnehmen.
Leider weiss ich immer noch nicht, wie man an den Wert von [mm] a_{12} [/mm] kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 30.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_{12}=a_{21} [/mm] ist der halbe Koeffizient, der vor x*y bzw vor [mm] x_1*x2 [/mm] steht entsprechend [mm] a{13}=a_{31} [/mm] vor [mm] x_1*x_3 [/mm] usw.
aber das steht doch auch in deinem Zitat?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 30.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo, jetzt bin ich ganz verunsichert. Also die Gleichung :
[mm]2x^2+8y^2+2z^2+8xy+4xz+8yz+2x+4z=0[/mm] sieht allgemein so aus:
[mm]a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+a_{12}xy+a_{13}xz+8yz+2x+4z=0[/mm].
Kann ich dann so
[mm]A=\pmat{ a_{11} & \frac{a_{12}}{2} & \frac{a_{13}}{2} \\
\frac{a_{12}}{2} & a_{22} & \frac{a_{12}}{2} \\
\frac{a_{13}}{2} & \frac{a_{12}}{2} & a_{13}} [/mm]
die Kennmatrix A beschreiben?
Vor allem muss es eine symmetrische Matrix sein, so muss gelten
[mm] A=A^T[/mm]
Das ist dann hier der Fall bei der algemeinen Matrix A.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 30.01.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Du hast in der matrix a_{32) und a_{23} falsch in deiner Gleichung auch den koeff bei yz nicht benannt, da steht noch 8 statt a_{23}
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mo 30.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Danke bis hierhin, bald komme ich auch auf die Lösung.
So wollen wir mal bis hierhin zusammenfassen:
aus der allgemeinen Gleichung [mm]a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+b=0[/mm]
kann ich die Kennmatrix [mm]A=\pmat{ a_{11} & \frac{a_{12}}{2} & \frac{a_{13}}{2} \\
\frac{a_{12}}{2} & a_{22} & \frac{a_{23}}{2} \\
\frac{a_{13}}{2} & \frac{a_{23}}{2} & a_{13}}[/mm] bestimmen.
aus der Gleichung [mm]2x^2+8y^2+2z^2+8xy+4xz+8yz+2x+4z=0[/mm] kann somit die
Kennmatrix [mm]A=\pmat{ 2 & 4 & 2 \\
4 & 8 & 4 \\
2 & 4 & 2}[/mm] bestimmt werden.
Durch elementare Umformung [mm](Z2:=Z2-2Z1, Z3:=Z3-Z1)[/mm] erhält man
[mm]A=\pmat{ 2 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0}[/mm]. Der Rang von A ist dann offenbar rg(A)=1.
Soweit, so gut, oder?
Nun kommts... Wie erstelle ich die Matrix [mm]I=\pmat{ A & ? \\
? & ? }[/mm], also
[mm]I=\pmat{ 2 & 4 & 2 & ? \\
4 & 8 & 4 & ? \\
2 & 4 & 2 & ? \\
? & ? & ? & ?}[/mm] ?
Wenn ich das noch weiss, dann kann ich den Rang von I bestimmen und dann die Fläche des zweiten Grades im [mm]\IR^3[/mm] angeben.
Danke, du hast mir schon sehr geholfen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich kenne die art die quadriken zu bestimmen nicht, aber was sinnvolles ergibt sich wenn die untere Zeile (0,0,0,1) die rechte Spalte die koeffizienten von x,y,z enthält, die bei dir
[mm] (2,0,4)^t [/mm] waren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Di 31.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Obwohl du diese Art nicht kennst, nimmst du Dir mein Problem trotzdem an, das würdige ich sehr.
Ich versuche mal zu erläutern, was ich im Skript dazu stehen habe.
Eine Fläche zweiten Grades im [mm]\IR^n[/mm] wird durch die Menge aller [mm]\vec{x}\in\IR^n[/mm] gegeben, für die gilt:
[mm]\vec{x}^T\cdot A \cdot \vec{x} +2\vec{b}^T \cdot {x} +c=0[/mm]
Hierbei ist [mm]A\in M_{n,n}(\IR)[/mm] eine symmetrische Matrix, [mm]A \neq 0[/mm], sowie [mm]\vec{b}\in\IR^n[/mm] und [mm]c\in\IR[/mm].
Weiterhin kann man die Kennmatrix I noch so angeben:
[mm]I=\pmat{ A & \vec{b} \\
\vec{b}^T & c } [/mm].
Also A konnten wir bestimmen. Aber was ist der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] und der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] in meiner Gleichung? Kann mir das vielleicht jemand erläutern?
Die Konstante c ist ja in dieser Gleichung 0, somit haben wir schon mal eine Unbekannte weniger:
[mm] I=\pmat{ 2 & 4 & 2 & ? \\ 4 & 8 & 4 & ? \\ 2 & 4 & 2 & ? \\ ? & ? & ? & 0}
[/mm]
Danke
Eine allgemeine Gleichung die mein Problem lösen würde wäre:
[mm] a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2a_{41}x+2a_{42}y+2a_{43}z+\underbrace{a_{44}}_{=c}=0
[/mm]
Also
[mm] I=\pmat{ 2 & 4 & 2 & \frac{a_{41}}{2} \\ 4 & 8 & 4 & \frac{a_{42}}{2} \\ 2 & 4 & 2 & \frac{a_{43}}{2} \\ \frac{a_{41}}{2} & \frac{a_{42}}{2} & \frac{a_{43}}{2} & a_{44}}
[/mm]
Fragt mich aber nicht, woher ich das habe, das sagt mir jetzt einfach mal mein logischer Verstand...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig ist, der Vektor [mm] 2*b^T=(a_{41},a_{42},a_{43}
[/mm]
und damit ist dein I richtig.
der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] ist einfach [mm] (x,y,z)^T
[/mm]
[mm] b^T*\vec{x} [/mm] das Skalarprodkt von x und b als matrixmult geschrieben
wenn du x^TAx bildest bekommst du die quadratischen (und gemischten) Terme.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 31.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Hallo Leduart, dank deiner Hilfe habe ich (glaube ich zumindest) die Lösung:
Die Kennmatrizen A und I sind
[mm]A=\pmat{ 2 & 4 & 2 \\
4 & 8 & 4 \\
2 & 4 & 2}[/mm] , [mm]I=\pmat{ 2 & 4 & 2 & 1 \\
4 & 8 & 4 & 0 \\
2 & 4 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 2 & 0}[/mm]
[mm]rg(A)=1[/mm] und der Rang von I nach elementarer Umformung:
[mm](Z2:=Z2-2Z1, Z3:=Z3-Z1)[/mm]
[mm]I=\pmat{ 2 & 4 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 0}[/mm]
[mm](Z2:=Z4, Z4:=Z4+2Z3)[/mm]
[mm]I=\pmat{ 2 & 4 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Oh je ich bekomme den Rang von I nicht bestimmt. Wenn ich weiter umforme erhalte ich rg(I)=3. Ist das dann richtig?
Wenn das nämlich stimmen sollte, dann handelt es sich offenbar um einen
parabolischen Zylinder
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sind doch schon 3 lin unabh- zeilenvektoren, also rang 3?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Di 31.01.2012 | | Autor: | lzaman |
Danke, das war es schon. Die Aufgabe ist gelöst.
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