Kettenregel(mehrdimensional) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 5. Aufgabe
Es seien folgende Abbildungen gegeben:
f : [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2, [/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] --> [mm] \vektor{e^{x+y} \\ e^{x-y}}
[/mm]
Berechne die Funktionalmatrix(Jacobi) von f [mm] \circ [/mm] f über die Kettenregel |
Hallo, also ich hätte jetzt einfach die Funktionalmatrix von f ausgerechnet und sie quadriert, aber so soll mans offenbar net machen, man soll die Kettenregel anwenden:
[mm] D(f\circ [/mm] f) = Df(f(x,y)) [mm] \cdot [/mm] Df(x,y)
Die Funktionalmatrix von f ist [mm] \pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ e^{x-y} & -e^{x-y} } [/mm] , oder?
Naja wie soll ich dann Df(f(x,y)) ausrechnen, kann mir das jemand erklären, es geht hier nicht um ne Lösung sondern nur dass ichs für die kommende Klausur kapiere *G*
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Hallo!
> 5. Aufgabe
> Es seien folgende Abbildungen gegeben:
> f : [mm]R^2[/mm] -> [mm]R^2,[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] --> [mm]\vektor{e^{x+y} \\ e^{x-y}}[/mm]
> Berechne
> die Funktionalmatrix(Jacobi) von f [mm]\circ[/mm] f über die
> Kettenregel
> Hallo, also ich hätte jetzt einfach die Funktionalmatrix
> von f ausgerechnet und sie quadriert, aber so soll mans
> offenbar net machen, man soll die Kettenregel anwenden:
>
> [mm]D(f\circ[/mm] f) = Df(f(x,y)) [mm]\cdot[/mm] Df(x,y)
>
> Die Funktionalmatrix von f ist [mm]\pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ e^{x-y} & -e^{x-y} }[/mm]
> , oder?
>
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> Naja wie soll ich dann Df(f(x,y)) ausrechnen, kann mir das
> jemand erklären, es geht hier nicht um ne Lösung sondern
> nur dass ichs für die kommende Klausur kapiere *G*
Also, erstmal hätte ich es so gemacht: [mm] $f\circ [/mm] f$ ist doch: [mm] \vektor{e^{e^{x+y}+e^{x-y}}\\e^{e^{x+y}-e^{x-y}}} [/mm] wenn ich mich da jetzt nicht vertan habe. Und davon könntest du einmal die Ableitung berechnen. Da hättest du "implizit" wohl auch die Kettenregel verwendet, weil du für die jeweilige Ableitung wohl die Kettenregel benötigst.
Aber so wie du es wohl machen sollst, verstehe ich es so:
[mm] $D(f\circ [/mm] f)=Df*f+f*Df$ - oder? Das ist doch allgemein die Kettenregel. Und dafür berechnest du dann halt erstmal Df, und das multiplizierst du mit f, und dann einmal umgekehrt, und das addierst du dann.
Habe es jetzt nicht ausprobiert, aber du kannst ja mal gucken, ob beide Male dasselbe rauskommt. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Poffelchen |
naja so wie du das gemacht hättest also die erste variante hätte ichs auch probiert, aber mein tutor meinte halt dass ichs irgendwie anders amchen soll ich hab dann irgendwi son Term e hoch e hoch x... also so ganz komisch ^^
erst f [mm] \cdot [/mm] f zu rechnen und dann abzuleiten klingt am logischten, da das Matrixprodukt der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht... naja aber ich solls halt über die kettenregel probieren, was du meintest war die Produktregel, wenn man die Funktionalmatrix von f benutzt kann man die eindimensionale Kettenregel oder Produktregel anwenden, ist egal, aber bei f [mm] \circ [/mm] f eben irgendwie net
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Hallo Poffelchen,
> Naja wie soll ich dann Df(f(x,y)) ausrechnen,
Hier kannst Du in die Funktionalmatrix Df(x,y) f(x,y) einsetzen. Also für x [mm] e^{x+y} [/mm] und für y [mm] e^{x-y}
[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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Sei g diese Funktion
dann ist g = [mm] \vektor{e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} \\ e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}}}
[/mm]
richtig? und dann halt D bestimmen, was aber ein riesiger term sien müsste, dahe rspar ich mir das jetzt mal *g*
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Hallo Poffelchen,
Du wolltest(solltest) doch die Kettenregel verwenden also nicht in die Funktion f f einsetzen sondern in die Funktionalmatrix von f f einsetzen.
viele Grüße
mathemaduenn
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aber ist das nicht genau die ketten regel, wenn ich jetzt D g bilde ist das doch D(f(f(x,y)) oder ? udnd as multipiliziere ich dann nur noch mit Df(hatte ich vergessen zu schreiben)
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Hallo
> aber ist das nicht genau die ketten regel, wenn ich jetzt D
> g bilde ist das doch D(f(f(x,y)) oder ? udnd as
> multipiliziere ich dann nur noch mit Df(hatte ich vergessen
> zu schreiben)
Wenn Du g ableitest ist das doch das letztenendes rauskommen soll da muß nichts mehr multipliziert werden. Um Schreibarbeit zu sparen ein 1-D Bsp.
[mm] f(x)=e^x
[/mm]
KEttenregel auf f Kringel f angewendet gibt:
[mm] f(f(x))'=f'(f(x)*f'(x)=e^{f(x)}*e^x=e^{e^x}*e^x
[/mm]
Genauso im Mehrdimensionalen erst Ableiten dann einsetzen.
Alles klar?
viele grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Do 06.07.2006 | | Autor: | Poffelchen |
hm, also hab ichs hier: https://matheraum.de/read?i=166153
richtig gemacht?
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Hallo Poffelchen,
überlegs dir mal so:
Allgemein leutet die Kettenregel:
(f°g)(x)=f'(g(x))*g'(x)
Bei dir lautet sie halt:
(f°f)(x)=f'(f(x))*f'(x)
Ergo: Bilde von f die Funktionalmatrix von f(x), setze also f(x) in die Funktionalmatrix ein und multipliziere das mit f'(x), also der normalen Funktionalmatrix von f. Wenn du die Matrizen mutliplizierst, hast du das Ergebnis.
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Also Df ist: [mm] \pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ e^{x-y} & -e^{x-y} }
[/mm]
Und um D(f(f(x,y)) zu bestimmen setz ich da jetzt f(x,y) ein...
[mm] \pmat{ e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} & e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} \\ e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} & -e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} }
[/mm]
Also ist D(f [mm] \circ [/mm] f) = [mm] \pmat{ e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} & e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} \\ e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} & -e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} } \cdot \pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ e^{x-y} & -e^{x-y} }
[/mm]
richtig
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Hallo
> Also Df ist: [mm]\pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ e^{x-y} & -e^{x-y} }[/mm]
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> Und um D(f(f(x,y)) zu bestimmen setz ich da jetzt f(x,y)
> ein...
> [mm]\pmat{ e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} & e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} \\ e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} & -e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} }[/mm]
>
> Also ist D(f [mm]\circ[/mm] f) = [mm]\pmat{ e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} & e^{e^{x+y} + {e^{x-y}}} \\ e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} & -e^{e^{x+y} - {e^{x-y}}} } \cdot \pmat{ e^{x+y} & e^{x+y} \\ e^{x-y} & -e^{x-y} }[/mm]
>
> richtig
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
viele Grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Do 06.07.2006 | | Autor: | Poffelchen |
JUHU! ^^ dann danke ich all meinen lieben Helfern
Also wenn ich nochmal zusammenfasse
Schritt 1: Df bilden
Schritt 2: Df nehmen für x --> [mm] f_1 [/mm] einsetzen, für y --> [mm] f_2 [/mm] einsetzen
Schritt 3: [mm] Df(f_1,f_2) [/mm] mit Df(x,y) multiplizieren
Ergebnis ist D(f [mm] \circ [/mm] f)
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