Kettenregel II < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei g(u,v) := (sin(2u)+v , [mm] u+v^2 [/mm] , uv) und f(x,y,z) = 2xy - [mm] z^2
[/mm]
Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_u [/mm] und [mm](f \circ g)_v[/mm] |
Das ist relativ einfach direkt auszurechnen:
h(u,v) = (f [mm] \circ [/mm] g)(u,v) = f(g(u,v)) = (2sin 2u + 2v)(u + [mm] v^2) [/mm] - [mm] u^2v^2
[/mm]
[mm] h_u [/mm] = (4u + [mm] v^2)cos [/mm] 2u + 2(sin 2u + v) - [mm] 2uv^2
[/mm]
[mm] h_v [/mm] = 2(u + [mm] v^2) [/mm] + 4v(sin 2u + v) - 2u^2v
Nun könnte die Aufgabe aber auch lauten "mit Hilfe der Kettenregel", wär ja nicht das Erste mal, wenn in einer Klausur ein anderer als der einfache Weg gefragt wäre. 
Kettenregel: [mm] J_{f \circ g}(x,y) [/mm] = [mm] J_f(g(x,y)) [/mm] * [mm] J_g(x,y)
[/mm]
[mm] J_f [/mm] (x,y) = (2y , 2x , -2z) , [mm] J_g [/mm] (x,y) = [mm] \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}
[/mm]
Und damit:
[mm] J_{f \circ g}(x,y) [/mm] = [mm] \vektor{2sin(2u) + 2v \\ 2u+2v^2 \\ -2uv} [/mm] * [mm] \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}
[/mm]
Und wie multipliziert man das jetzt aus? Eine 3x3-Matrix würde der Formel an dieser Stelle deutlich besser zu Gesicht stehen...
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Hallo MaRaQ,
> Sei g(u,v) := (sin(2u)+v , [mm]u+v^2[/mm] , uv) und f(x,y,z) = 2xy -
> [mm]z^2[/mm]
> Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_u[/mm] und [mm](f \circ g)_v[/mm]
>
> Das ist relativ einfach direkt auszurechnen:
>
> h(u,v) = (f [mm]\circ[/mm] g)(u,v) = f(g(u,v)) = (2sin 2u + 2v)(u +
> [mm]v^2)[/mm] - [mm]u^2v^2[/mm]
>
> [mm]h_u[/mm] = (4u + [mm]v^2)cos[/mm] 2u + 2(sin 2u + v) - [mm]2uv^2[/mm]
Hier muß die "4" vor der Klammer stehen:
[mm]h_{u} = \red{4}\left(u + v^{2}\right)\cos\left(2u\right) + 2\left( \ \sin\left(2u\right) + v \ \right) - 2uv^{2}[/mm]
> [mm]h_v[/mm] = 2(u + [mm]v^2)[/mm] + 4v(sin 2u + v) - 2u^2v
>
> Nun könnte die Aufgabe aber auch lauten "mit Hilfe der
> Kettenregel", wär ja nicht das Erste mal, wenn in einer
> Klausur ein anderer als der einfache Weg gefragt wäre.
>
>
> Kettenregel: [mm]J_{f \circ g}(x,y)[/mm] = [mm]J_f(g(x,y))[/mm] * [mm]J_g(x,y)[/mm]
>
> [mm]J_f[/mm] (x,y) = (2y , 2x , -2z) , [mm]J_g[/mm] (x,y) = [mm]\pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
> Und damit:
> [mm]J_{f \circ g}(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{2sin(2u) + 2v \\ 2u+2v^2 \\ -2uv}[/mm]
> * [mm]\pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
Doch wohl eher so:
[mm]J_{f \circ g}(x,y) = \vektor{ 2u+2v^2 \\ 2sin(2u) + 2v \\ -2uv}* \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
> Und wie multipliziert man das jetzt aus? Eine 3x3-Matrix
> würde der Formel an dieser Stelle deutlich besser zu
> Gesicht stehen...
So, daß es von den Dimensionen her paßt:
[mm]J_{f \circ g}(x,y) = \vektor{ 2u+2v^2 & 2sin(2u) + 2v & -2uv}* \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
> Hallo MaRaQ,
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> > Sei g(u,v) := (sin(2u)+v , [mm]u+v^2[/mm] , uv) und f(x,y,z) = 2xy -
> > [mm]z^2[/mm]
> > Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_u[/mm] und [mm](f \circ g)_v[/mm]
>
> >
> > Das ist relativ einfach direkt auszurechnen:
> >
> > h(u,v) = (f [mm]\circ[/mm] g)(u,v) = f(g(u,v)) = (2sin 2u + 2v)(u +
> > [mm]v^2)[/mm] - [mm]u^2v^2[/mm]
> >
> > [mm]h_u[/mm] = (4u + [mm]v^2)cos[/mm] 2u + 2(sin 2u + v) - [mm]2uv^2[/mm]
>
>
> Hier muß die "4" vor der Klammer stehen:
Stimmt.
> [mm]h_{u} = \red{4}\left(u + v^{2}\right)\cos\left(2u\right) + 2\left( \ \sin\left(2u\right) + v \ \right) - 2uv^{2}[/mm]
>
>
> > [mm]h_v[/mm] = 2(u + [mm]v^2)[/mm] + 4v(sin 2u + v) - 2u^2v
> >
> > Nun könnte die Aufgabe aber auch lauten "mit Hilfe der
> > Kettenregel", wär ja nicht das Erste mal, wenn in einer
> > Klausur ein anderer als der einfache Weg gefragt wäre.
> >
> >
> > Kettenregel: [mm]J_{f \circ g}(x,y)[/mm] = [mm]J_f(g(x,y))[/mm] * [mm]J_g(x,y)[/mm]
> >
> > [mm]J_f[/mm] (x,y) = (2y , 2x , -2z) , [mm]J_g[/mm] (x,y) = [mm]\pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
> >
> > Und damit:
> > [mm]J_{f \circ g}(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{2sin(2u) + 2v \\ 2u+2v^2 \\ -2uv}[/mm]
>
>
>
> > * [mm]\pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
>
> Doch wohl eher so:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x,y) = \vektor{ 2u+2v^2 \\ 2sin(2u) + 2v \\ -2uv}* \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
>
Stimmt auch. ^^
> >
> > Und wie multipliziert man das jetzt aus? Eine 3x3-Matrix
> > würde der Formel an dieser Stelle deutlich besser zu
> > Gesicht stehen...
>
>
> So, daß es von den Dimensionen her paßt:
>
> [mm]J_{f \circ g}(x,y) = \vektor{ 2u+2v^2 & 2sin(2u) + 2v & -2uv}* \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
>
> Gruß
> MathePower
Kann man den Vektor an der Stelle "einfach so" transponieren, nur damit die Dimensionen passen - oder steckt da noch was anderes dahinter?
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Hallo MaRaQ,
> > Hallo MaRaQ,
> >
> > > Sei g(u,v) := (sin(2u)+v , [mm]u+v^2[/mm] , uv) und f(x,y,z) = 2xy -
> > > [mm]z^2[/mm]
> > > Berechnen Sie die Ableitungen [mm](f \circ g)_u[/mm] und [mm](f \circ g)_v[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das ist relativ einfach direkt auszurechnen:
> > >
> > > h(u,v) = (f [mm]\circ[/mm] g)(u,v) = f(g(u,v)) = (2sin 2u + 2v)(u +
> > > [mm]v^2)[/mm] - [mm]u^2v^2[/mm]
> > >
> > > [mm]h_u[/mm] = (4u + [mm]v^2)cos[/mm] 2u + 2(sin 2u + v) - [mm]2uv^2[/mm]
> >
> >
> > Hier muß die "4" vor der Klammer stehen:
>
> Stimmt.
>
> > [mm]h_{u} = \red{4}\left(u + v^{2}\right)\cos\left(2u\right) + 2\left( \ \sin\left(2u\right) + v \ \right) - 2uv^{2}[/mm]
>
> >
> >
> > > [mm]h_v[/mm] = 2(u + [mm]v^2)[/mm] + 4v(sin 2u + v) - 2u^2v
> > >
> > > Nun könnte die Aufgabe aber auch lauten "mit Hilfe der
> > > Kettenregel", wär ja nicht das Erste mal, wenn in einer
> > > Klausur ein anderer als der einfache Weg gefragt wäre.
> > >
> > >
> > > Kettenregel: [mm]J_{f \circ g}(x,y)[/mm] = [mm]J_f(g(x,y))[/mm] * [mm]J_g(x,y)[/mm]
> > >
> > > [mm]J_f[/mm] (x,y) = (2y , 2x , -2z) , [mm]J_g[/mm] (x,y) = [mm]\pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und damit:
> > > [mm]J_{f \circ g}(x,y)[/mm] = [mm]\vektor{2sin(2u) + 2v \\ 2u+2v^2 \\ -2uv}[/mm]
> >
> >
> >
> > > * [mm]\pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
> >
> >
> > Doch wohl eher so:
> >
> > [mm]J_{f \circ g}(x,y) = \vektor{ 2u+2v^2 \\ 2sin(2u) + 2v \\ -2uv}* \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
> >
> >
>
> Stimmt auch. ^^
>
> > >
> > > Und wie multipliziert man das jetzt aus? Eine 3x3-Matrix
> > > würde der Formel an dieser Stelle deutlich besser zu
> > > Gesicht stehen...
> >
> >
> > So, daß es von den Dimensionen her paßt:
> >
> > [mm]J_{f \circ g}(x,y) = \vektor{ 2u+2v^2 & 2sin(2u) + 2v & -2uv}* \pmat{2cos(2u) & 1 \\ 1 & 2v \\ v & u}[/mm]
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
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> Kann man den Vektor an der Stelle "einfach so"
> transponieren, nur damit die Dimensionen passen - oder
> steckt da noch was anderes dahinter?
Mit Hilfe der ![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Kettenregel sieht man das.
Betrachte hier [mm]f\left(u,v\right)=f\left( \ x\left(u,v\right), \ y\left(u,v\right), \ z\left(u,v\right) \ \right)[/mm]
Dann ist
[mm]f_{u}=f_{x}*x_{u}+f_{y}*y_{u}+f_{z}*z_{u}[/mm]
[mm]f_{v}=f_{x}*x_{v}+f_{y}*y_{v}+f_{z}*z_{v}[/mm]
Das läßt sich hier etwas kompakter schreiben:
[mm]\pmat{f_{u} \\ f_{v} }=\pmat{f_{x} & f_{y} & f_{z}}*\pmat{x_{u} & x_{v} \\ y_{u} & y_{v} \\ z_{u} & z_{v}}=\left(J_{f}\left( \ x\left(u,v\right), \ y\left(u,v\right), \ z\left(u,v\right) \ \right)\right)^{T} \* J_{g}\left(u,v\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mi 22.07.2009 | | Autor: | MaRaQ |
[mm] \summe_{i=1}^{1000} [/mm] Danke.
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