Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Zu f: [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] und [mm] g:\IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit
[mm] f(x,y):=\vektor{x^2 \\ 2x+1 \\ 3y^2-x}, g(x,y,z):=\vektor{x+y \\ y^2}
[/mm]
berechnen Sie
a) [mm] J_{g\circ f}(x,y) [/mm] mit der Kettenregel
b) [mm] J_{g\circ f}(x,y) [/mm] direkt indem Sie zuerst g(f(x,y)) berechnen
c) [mm] D((g\circ f)\circ...\circ ({g\circ f}))(0,0) [/mm] undzwar 2013-mal ausgeführt. |
Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.
Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
mfg. Joker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Joker08!
> Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.
>
> Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich an die
> Aufgabe herangehen soll.
Mein erster Gedanke was mit Hilfe von a) und b) eine rekursive darstellung von [mm](g\circ f)\circ\ldots\circ (g\circ f)[/mm] zu finden.
Verrate uns doch bitte, was der Operator D ist. Die Determinante der Jacobimatrix? Falls ja, ist ja nur zu zeigen, dass J auch nach 2013-maliger Ausführung von [mm]g\circ f[/mm] die Form [mm]\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}[/mm] hat (so wie bei der einmaligen Ausführung).
Vielleicht zeigst du uns zur Kontrolle auch mal deine Lösungen zu a) und b).
Lieben Gruß,
fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 Di 18.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hallo Joker08!
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> > Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.
> >
> > Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich an
> die
> > Aufgabe herangehen soll.
>
> Mein erster Gedanke was mit Hilfe von a) und b) eine
> rekursive darstellung von [mm](g\circ f)\circ\ldots\circ (g\circ f)[/mm]
> zu finden.
>
> Verrate uns doch bitte, was der Operator D ist. Die
> Determinante der Jacobimatrix? Falls ja, ist ja nur zu
> zeigen, dass J auch nach 2013-maliger Ausführung von
> [mm]g\circ f[/mm] die Form [mm]\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}[/mm] hat
> (so wie bei der einmaligen Ausführung).
Also das wurde irgendwie niergends definiert. Aber es wurde ein zusatz zu eigenwerte gegeben, den ich bislang nicht für das Aufgabenblatt verwenden musste. Bis auf die Aufgabe fehlt mir auch nichts mehr. Ich denke schon, dass damit die Determinate gemeint sein könnte.
> Vielleicht zeigst du uns zur Kontrolle auch mal deine
> Lösungen zu a) und b).
Okay
a) [mm] J_f(x,y)=\pmat{ 2xy & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y }
[/mm]
[mm] J_g(x,y,z)=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2y & 0}
[/mm]
[mm] J_g(f(x))=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}
[/mm]
Somit erhält man:
[mm] J_{g\circ f}(x,y)=J_g(f(x,y))\cdot J_f(x,y) [/mm] = [mm] =\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}=\pmat{ 2yx & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y} =\pmat{ 2yx+2 & x^2 \\ 8x+4 & 0} [/mm]
b) [mm] g(f(x,y))=\pmat{ f_1(x,y)+ f_2(x,y)\\ (f_2(x,y))^2 }=\pmat{ x^2y+ 2x+1\\ (2x+1)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial x}=\pmat{ 2xy+2 \\ 8x+4 }
[/mm]
[mm] \bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial y}= \pmat{ x^2 \\ 0}
[/mm]
[mm] Jg(f(x,y))=\pmat{ 2xy+2 & x^2 \\ 8x+y & 0}
[/mm]
Sollte so stimmen oder ?
> Lieben Gruß,
> fulla
mfg. Joker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Di 18.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Joker08!
> >
> > > Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.
> > >
> > > Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich
> an
> > die
> > > Aufgabe herangehen soll.
> >
> > Mein erster Gedanke was mit Hilfe von a) und b) eine
> > rekursive darstellung von [mm](g\circ f)\circ\ldots\circ (g\circ f)[/mm]
> > zu finden.
> >
> > Verrate uns doch bitte, was der Operator D ist. Die
> > Determinante der Jacobimatrix? Falls ja, ist ja nur zu
> > zeigen, dass J auch nach 2013-maliger Ausführung von
> > [mm]g\circ f[/mm] die Form [mm]\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}[/mm] hat
> > (so wie bei der einmaligen Ausführung).
>
> Also das wurde irgendwie niergends definiert. Aber es wurde
> ein zusatz zu eigenwerte gegeben, den ich bislang nicht
> für das Aufgabenblatt verwenden musste. Bis auf die
> Aufgabe fehlt mir auch nichts mehr. Ich denke schon, dass
> damit die Determinate gemeint sein könnte.
>
> > Vielleicht zeigst du uns zur Kontrolle auch mal deine
> > Lösungen zu a) und b).
>
> Okay
>
> a) [mm]J_f(x,y)=\pmat{ 2xy & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y }[/mm]
>
> [mm]J_g(x,y,z)=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2y & 0}[/mm]
>
> [mm]J_g(f(x))=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}[/mm]
>
> Somit erhält man:
>
> [mm]J_{g\circ f}(x,y)=J_g(f(x,y))\cdot J_f(x,y)[/mm] = [mm]=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}=\pmat{ 2yx & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y} =\pmat{ 2yx+2 & x^2 \\ 8x+4 & 0}[/mm]
>
>
> b) [mm]g(f(x,y))=\pmat{ f_1(x,y)+ f_2(x,y)\\ (f_2(x,y))^2 }=\pmat{ x^2y+ 2x+1\\ (2x+1)^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial x}=\pmat{ 2xy+2 \\ 8x+4 }[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial y}= \pmat{ x^2 \\ 0}[/mm]
>
>
> [mm]Jg(f(x,y))=\pmat{ 2xy+2 & x^2 \\ 8x+y & 0}[/mm]
>
> Sollte so stimmen oder ?
Ja
FRED
>
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> > Lieben Gruß,
> > fulla
>
> mfg. Joker
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Hallo,
Also ich sitze auch an der Aufgabe und habe für a) und b) die gleichen Ergebnisse, jedoch weiss ich nicht, wie diese mir helfen könnten. D steht wohl für die totale Ableitung, soweit ich das verstanden habe, da die Determinate durch det definiert ist. Jedoch hilft mir das auch nicht weiter.
Weiss denn dann jemand, wie man an die Aufgabe herangehen muss?
Mit freundlichen Grüssen,
Jana.
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Hallo,
Df(x) ist die lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen und wird durch der Jakobimatrix [mm]J_{f}[/mm](x) beschrieben. Wir können also a) verwenden. Fasse dazu
(g[mm] \circ [/mm]f) 2012 mal zu einer Abbildung zusammen.
Gruß korbinian
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Mh ja also entweder muss ich gof 2013 mal verketten und dann die Jakobimatrix berechnen was so ja eher nicht möglich ist oder kann ich [mm] J_{g}(f(0,0)) \circ J_{g}(f(0,0)) \circ [/mm] ... [mm] \circ J_{g}(f(0,0)) \* J_{f}(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{1&0\\1&0\\0&0} \* \pmat{0&2&-1\\0&0&0} [/mm] = [mm] \pmat{2&0\\0&0} [/mm] ?
Und wenn das Quatsch ist, wie macht man es dann?
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Hallo,
tut mir Leid, wenn ich Dich verwirrt habe; war heute Morgen wohl etwas vorschnell und ziehe meinen Tipp (vorerst?) zurück. Habe "dafür" aber Rechenfehler in Deiner Rechnung gefunden. Die Verkettung von g und f ist m. E. nicht ganz richtig. Mein Ergebnis ist "schöner". Vielleicht wird ja damit c) einfacher.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Di 18.06.2013 | | Autor: | Joker08 |
Ich habe die Aufgabe bereits gelöst.
Vielen dank für die Hilfe :)
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