matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisKettenregel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis" - Kettenregel
Kettenregel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 So 03.07.2005
Autor: Andi

Hallo liebe Matheräumler,

ich bin gerade über folgender Aufgabe:

Sei [mm]f: \IR^n \to \IR [/mm] 2-mal stetig differenzierbar und mit einem [mm] \alpha \ge 2 [/mm] gelte:
[mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x) , \forall x \in \IR, \forall \lambda > 0 [/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \summe_{i,k=1}^{n}( \partial_i \partial_k f)(x)x_i x_k = \alpha (\alpha-1)f(x) [/mm]

Die rechte Seite der Gleichheit schaut so aus als hätte ich die Funktion  [mm] g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal nach Lambda abgeleitet. Und auf die linke Seite könnte ich kommen wenn ich die Funktion [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal mit der Kettenregel ableite, wobei ich hier noch sehr starke rechentechnische Schwierigkeiten habe.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand vielleicht einen kleinen Tipp geben könnte (es darf auch ein größerer sein *g*).
Und bei der Kettenregel brauche ich noch Hilfe, vielleicht wäre auch ein kleines Beispiel nicht unnütz.

Mit freundlichen Grüßen,
Andi

        
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 So 03.07.2005
Autor: Paulus

Lieber Andi

keine Angst, ich kann die Aufgabe auch noch nicht lösen. ;-)

Ich habe nur eine frage, ob du sie richtig abgetippt hast.

>  
> Sei [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm] 2-mal stetig differenzierbar und mit
> einem [mm]\alpha \ge 2[/mm] gelte:
>  [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x) , \forall x \in \IR, \forall \lambda > 0[/mm]
>  
> Zeigen Sie:
>  [mm]\summe_{i,k=1}^{n}( \partial_i \partial_k f)(x)x_i x_k = \alpha (\alpha-1)f(x)[/mm]
>  
> Die rechte Seite der Gleichheit schaut so aus als hätte ich
> die Funktion  [mm]g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal nach
> Lambda abgeleitet.

Müsste es dann rechts nicht eher so heissen?:

[mm] $\alpha (\alpha-1) \lambda^{\alpha-2}f(x)$ [/mm]

Noch eine kleine Anmerkung:

Mit Hilfe der Hessematrix (sie ist in diesem Falle symmetrisch) kannst du deine Summe auch so schreiben:

[mm] $x^T [/mm] H x$

Es gilt auch:

[mm] $(\lambda x)^T [/mm] H [mm] (\lambda x)=\lambda^2*x^T [/mm] H x$

Ich weiss nicht, ob das etwas nützt. Who knows?

Mit vielen Grüssen

Paul

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 So 03.07.2005
Autor: Andi

Lieber Paul,

> keine Angst, ich kann die Aufgabe auch noch nicht lösen.
> ;-)

Schade ;-)

> Ich habe nur eine frage, ob du sie richtig abgetippt hast.

  

> Müsste es dann rechts nicht eher so heissen?:
>  
> [mm]\alpha (\alpha-1) \lambda^{\alpha-2}f(x)[/mm]

Nein, ich habe es schon richtig abgeschrieben. Aber ich dachte, dass ich dann [mm]\lambda=1[/mm] setzen könnte. Dann würde es richtig dort stehen.

Danke für deine Gedanken!

Liebe Grüße,
Andi

Bezug
        
Bezug
Kettenregel: falsch Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 So 03.07.2005
Autor: leduart


> Sei [mm]f: \IR^n \to \IR[/mm] 2-mal stetig differenzierbar und mit
> einem [mm]\alpha \ge 2[/mm] gelte:
>  [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x) , \forall x \in \IR, \forall \lambda > 0[/mm]
>  
> Zeigen Sie:
>  [mm]\summe_{i,k=1}^{n}( \partial_i \partial_k f)(x)x_i x_k = \alpha (\alpha-1)f(x)[/mm]
>  
> Die rechte Seite der Gleichheit schaut so aus als hätte ich
> die Funktion  [mm]g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm] zweimal nach
> Lambda abgeleitet. Und auf die linke Seite könnte ich
> kommen wenn ich die Funktion [mm]f(\lambda x)=\lambda^{\alpha}f(x)[/mm]
> zweimal mit der Kettenregel ableite, wobei ich hier noch
> sehr starke rechentechnische Schwierigkeiten habe.

Ich glaub mit Kettenregel hat das wenigewr zu tun als mit der Def. von [mm] (\partial_xi [/mm] )
nämlich [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{ f(..xi+h..)-f(..xi..)}{h}. [/mm]
jetzt xi+h=xi(1+h/xi)  und [mm] f(..xi+h..)=(1+h/xi)^{\alpha}*f(...xi...) [/mm]  das für die ersten 2 oder 3 Glieder ausrechnen,der Rest verschwindet mit h gegen 0 und dann hast du den ersten Schritt!
(nach [mm] \lambda [/mm] differenzieren ist sicher keine gute Idee! denn das ist ja ne feste Zahl!)
Ich hoff der Tip reicht als Andeutung und du kannst weiter machen
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 So 03.07.2005
Autor: Stefan

Lieber Andi!

Die Aufgabe geht genau so, wie du es vorhattest. [daumenhoch]

Einmaliges Ableiten nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung liefert mit Hilfe der Kettenregel:

[mm] $\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\lambda [/mm] x) [mm] \cdot x_i [/mm] = [mm] \alpha \cdot \lambda^{\alpha-1} \cdot [/mm] f(x)$.

Erneutes Ableiten nach [mm] $\lambda$ [/mm] liefert wiederum mit der Kettenregel:

[mm] $\sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\lambda [/mm] x) [mm] \cdot x_i \cdot x_j [/mm] = [mm] \alpha(\alpha-1) \cdot \lambda^{\alpha-2} \cdot [/mm] f(x)$.

Setzt man nun [mm] $\lambda=1$, [/mm] so folgt die Behauptung.

Zur Kettenregel:

Hier hat man eine Verkettung

[mm] $\begin{array}{ccccc} \IR^+ & \to & \IR^n & \to & \IR \\ \lambda & \mapsto & \lambda \cdot x & \mapsto & f(\lambda \cdot x) \end{array}$. [/mm]

Nennen wir die erste Funktion $g$ und die zweite Funktion $f$, so ist $f [mm] \circ g:\IR^+ \to \IR$. [/mm] Nach der Kettenregel gilt nun für [mm] $\lambda>0$: [/mm]

$(f [mm] \circ g)'(\lambda) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(\lambda)) \cdot \frac{\partial g_i}{\partial \lambda}(\lambda)$ [/mm]

mit

[mm] $g_i [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^+ & \to & \IR \\[5pt] \lambda & \mapsto & \lambda\cdot x_i \end{array}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 So 03.07.2005
Autor: Andi

Lieber Stefan,

vielen Dank für deine Antwort. So hab ich es mir vorgestellt :-).

Liebe Grüße,
Andi

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]