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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Di 18.01.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
z = arctan [mm] (\bruch{x}{y}), [/mm] wobe x = [mm] e^t [/mm] und y = [mm] 1-e^{-t}.
[/mm]
berechnen Sie die Ableitung [mm] \bruch{dz}{dt}
[/mm]
Ich wähle da mal ebwusst den kompliziertere Weg
[mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] z_x [/mm] *x'(t) + [mm] z_y*y'(t)
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1 + (\bruch{3}{4})^2} [/mm] * [mm] (-\bruch{y}{x^2} [/mm] * [mm] e^t [/mm] + [mm] \bruch{1}{1 + (\bruch{y}{x})^2 } [/mm] * [mm] \bruch{e^{2-t}}{x}
[/mm]
Nun versuche ich das etwas zu vereinfachen
[mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{-y*e^t}{x^2 + y^2} [/mm] + [mm] \bruch{x*e^{-t}}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \bruch{-y*e^t +x*e^{-t} }{x^2 + y^2}
[/mm]
Nun bin ich irritiert. Ich muss ja anstelle von x und y das t reinbringen, also eifnach einsetzen?
[mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{-(1-e^{2-t})*e^t +e^t*e^{-t} }{e^{2t} + (1 - e^{-t})^2}
[/mm]
Jetzt bin ich mit dem Latein am Ende
Edit: oder muss ich da transformeiren? polar- kartesische Koordinate?
also z. b. [mm] r^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2...
[/mm]
Nein offenbar auch nicht..
Danke, gruss kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> z = arctan [mm](\bruch{x}{y}),[/mm] wobe x = [mm]e^t[/mm] und y = [mm]1-e^{-t}.[/mm]
> berechnen Sie die Ableitung [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm]
>
> Ich wähle da mal ebwusst den kompliziertere Weg
>
> [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm] = [mm]z_x[/mm] *x'(t) + [mm]z_y*y'(t)[/mm]
>
> [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm] = [mm]\bruch{1 + (\bruch{3}{4})^2}[/mm] *
> [mm](-\bruch{y}{x^2}[/mm] * [mm]e^t[/mm] + [mm]\bruch{1}{1 + (\bruch{y}{x})^2 }[/mm]
Offenbar hast Du hier die Funktion [mm]z = \arctan(\blue{\bruch{y}{x}})[/mm] verwendet.
Ist dem so, dann ist der obenstehende Ausdruck trotzdem nicht richtig:
[mm]\bruch{dz}{dt} = (-\bruch{y}{x^2}) *\blue{\bruch{1}{1 + (\bruch{y}{x})^2 }}* e^t + \bruch{1}{1 + (\bruch{y}{x})^2 }*\bruch{\red{e^{2-t}}}{x}[/mm]
Den blau markierten Ausdruck hast Du vergessen.
Der rot markierte Ausdruck ist nicht richtig.
Ich stelle gerade fest, daß Du statt dem blau markierten Ausdruck
[mm]\bruch{1}{1 + (\bruch{3}{4})^2}[/mm]
stehen hast.
> [mm]\bruch{e^{2-t}}{x}[/mm]
>
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> Nun versuche ich das etwas zu vereinfachen
>
> [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm] = [mm]\bruch{-y*e^t}{x^2 + y^2}[/mm] +
> [mm]\bruch{x*e^{-t}}{x^2 + y^2}[/mm] = [mm]\bruch{-y*e^t +x*e^{-t} }{x^2 + y^2}[/mm]
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> Nun bin ich irritiert. Ich muss ja anstelle von x und y das
> t reinbringen, also eifnach einsetzen?
> [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm] = [mm]\bruch{-(1-e^{2-t})*e^t +e^t*e^{-t} }{e^{2t} + (1 - e^{-t})^2}[/mm]
>
> Jetzt bin ich mit dem Latein am Ende
>
> Edit: oder muss ich da transformeiren? polar- kartesische
> Koordinate?
> also z. b. [mm]r^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2...[/mm]
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> Nein offenbar auch nicht..
>
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> Danke, gruss kuriger
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 18.01.2011 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Es heisst
z = arc tan [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
Nun also in der Lösugn steht ddas Zwischenresultat worauf ich auch komme
[mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{(-y*e^t + x*e^{-t}}{x^2 + y^2}
[/mm]
Doch wie kommt man dann auf:
[mm] \bruch{dz}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{-ye^t + x*e^{-t}}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \bruch{2 - e^t}{e^{2t} + (1 -e^{-t})^2 }
[/mm]
Danke, gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo
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> Es heisst
>
> z = arc tan [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
>
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> Nun also in der Lösugn steht ddas Zwischenresultat worauf
> ich auch komme
> [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm] = [mm]\bruch{(-y*e^t + x*e^{-t}}{x^2 + y^2}[/mm]
>
> Doch wie kommt man dann auf:
> [mm]\bruch{dz}{dt}[/mm] = [mm]\bruch{-ye^t + x*e^{-t}}{x^2 + y^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{2 - e^t}{e^{2t} + (1 -e^{-t})^2 }[/mm]
Setze
[mm]x=e^{t}[/mm]
[mm]y=1-e^{-t}[/mm]
ein.
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> Danke, gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
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